konvergensi metode elemen hingga ketika sisi kanan hanya dalam (Poisson eqn)

Saya tahu bahwa aproksimasi elemen hingga linear piecewise linear dari memenuhi asalkan U cukup halus dan f \ dalam L ^ 2 (U) . Δ u ( x ) = f ( x $u_h$

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

Pertanyaan: Jika $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , apakah kita memiliki estimasi analog berikut, di mana satu turunan diambil pada kedua sisi:

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

Bisakah Anda memberikan referensi?

Pikiran: Karena kita masih memiliki $u\in H^1_0(U)$ , harus dimungkinkan untuk mendapatkan konvergensi dalam $L^2(U)$ . Secara intuitif, ini bahkan harus dimungkinkan dengan fungsi konstan piecewise.

Ya , ini adalah trik standar Aubin-Nitsche (atau dualitas ). Idenya adalah untuk menggunakan fakta bahwa adalah ruang ganda sendiri untuk menulis -norm sebagai norma operator Dengan demikian, kita harus memperkirakan untuk arbitrary . Untuk melakukan itu, kita "mengangkat" ke dengan mempertimbangkan terlebih dahulu untuk sewenang-wenang solusi dari masalah ganda L 2 ‖ u ‖ L 2 = sup ϕ ∈ L 2 ∖ { 0 } ( u , ϕ $L^2$$L^2$(u-uh,ϕ)ϕ∈L2u-uhH 1 0 ϕ∈L2wϕ∈H 1 0 ( ∇ w ϕ , ∇ v ) = ( ϕ , v

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$ $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ Dengan menggunakan keteraturan standar persamaan Poisson, kita tahu bahwa $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

Memasukkan di dan menggunakan ortogonalitas Galerkin untuk elemen hingga apa pun (dalam kasus Anda, linier ) dengan fungsi menghasilkan estimasi Karena ini berlaku untuk semua , ketidaksetaraan masih benar jika kita mengambil yang paling atas semua linear . Karena itu kami memperoleh $v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Ini adalah Aubin-Nitsche-Lemma .

Langkah selanjutnya adalah sekarang untuk menggunakan estimasi kesalahan standar untuk pendekatan elemen hingga terbaik dari solusi untuk persamaan Poisson. Karena hanya dalam , kami tidak mendapatkan perkiraan yang lebih baik dari Tetapi untungnya, kita dapat menggunakan fakta bahwa memiliki keteraturan yang lebih tinggi karena sisi kanan bukannya . Dalam hal ini, kami memiliki Memasukkan dan ke dalamH 1 ‖ u - u h ‖ H 1 ≤ inf v $u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ (3)(4) $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ sekarang menghasilkan taksiran yang diinginkan.

(Perhatikan bahwa perkiraan standar mengharuskan polinomial derajat dari perkiraan elemen hingga dan Sobolev eksponen dari solusi yang benar memuaskan , maka argumen ini tidak bekerja untuk piecewise konstan ( ) pendekatan. Kami juga telah menggunakan - yaitu, bahwa kami memiliki perkiraan yang sesuai - yang tidak benar untuk konstanta sambungan satu sama lain.)m m < k + 1 k = 0 u - u h ∈ H 1 $k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Karena Anda meminta referensi: Anda dapat menemukan pernyataan (bahkan untuk ruang Sobolev negatif bukan ) dalam Teorema 5.8.3 (bersama dengan Teorema 5.4.8) di L $H^{-s}$$L^2$

Susanne C. Brenner dan L. Ridgway Scott , MR 2373954 Teori matematika metode elemen hingga , Teks dalam Matematika Terapan ISBN: 978-0-387-75933-3.