Apa perbedaan konseptual antara elemen hingga dan metode volume hingga?

Ada perbedaan yang jelas antara perbedaan hingga dan metode volume hingga (bergerak dari definisi titik persamaan ke rata-rata integral atas sel). Tapi saya menemukan FEM dan FVM sangat mirip; keduanya menggunakan bentuk integral dan rata-rata di atas sel.

Apa yang dilakukan metode FEM sehingga FVM tidak? Saya telah membaca sedikit latar belakang pada FEM. Saya mengerti bahwa persamaan ditulis dalam bentuk yang lemah, ini memberikan metode yang menyatakan titik yang sedikit berbeda dari FVM. Namun, pada tingkat konseptual saya tidak mengerti apa perbedaannya. Apakah FEM membuat beberapa asumsi tentang bagaimana yang tidak diketahui bervariasi di dalam sel, tidak dapatkah ini dilakukan dengan FVM?

Saya kebanyakan datang dari perspektif 1D jadi mungkin FEM memiliki kelebihan dengan lebih dari satu dimensi?

Saya belum menemukan banyak informasi yang tersedia tentang topik ini di internet. Wikipedia memiliki bagian tentang bagaimana FEM berbeda dari metode beda hingga, tetapi itu tentang hal itu, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Elemen Hingga: integral volumetrik, tatanan polinom internal

Metode elemen hingga klasik mengasumsikan ruang pendekatan kontinu atau lemah kontinu dan meminta integral volumetrik dari bentuk lemah untuk dipenuhi. Urutan akurasi ditingkatkan dengan meningkatkan urutan aproksimasi dalam elemen. Metode-metode ini tidak terlalu konservatif, sehingga seringkali bergulat dengan stabilitas untuk proses-proses terputus.

Volume Hingga: integral permukaan, fluks dari data terputus, urutan rekonstruksi

Metode volume hingga menggunakan ruang taksiran konstan piecewise dan meminta integral terhadap fungsi pengujian konstan piecewise agar dipenuhi. Ini menghasilkan pernyataan konservasi yang tepat. Integral volume dikonversi menjadi integral permukaan dan seluruh fisika ditentukan dalam hal fluks pada integral permukaan tersebut. Untuk masalah hiperbolik tingkat pertama, ini adalah solusi Riemann. Urutan kedua / fluks elips lebih halus. Urutan akurasi ditingkatkan dengan menggunakan tetangga untuk (secara konservatif) merekonstruksi representasi tingkat tinggi dari elemen dalam negara (rekonstruksi / pembatas lereng) atau dengan merekonstruksi fluks (pembatas fluks). Proses rekonstruksi biasanya nonlinier untuk mengontrol osilasi di sekitar fitur diskontinyu dari solusi, lihat pengurangan variasi total (TVD) dan pada dasarnya metode non-osilasi (ENO / WENO). Diskritisasi nonlinier diperlukan untuk secara simultan memperoleh akurasi urutan orde pertama yang lebih tinggi dari pada daerah yang halus dan variasi total terikat pada diskontinuitas, lihatTeorema Godunov .

Komentar

Baik FE dan FV mudah untuk menentukan akurasi urutan kedua pada kisi yang tidak terstruktur. FE lebih mudah melampaui urutan kedua pada grid yang tidak terstruktur. FV menangani jerat yang tidak sesuai dengan lebih mudah dan kuat.

Menggabungkan FE dan FV

Metodenya bisa menikah dalam berbagai cara. Metode Discontinuous Galerkin adalah metode elemen hingga yang menggunakan fungsi basis diskontinyu, sehingga memperoleh pemecah Riemann dan lebih kuat untuk proses terputus-putus (terutama hiperbolik). Metode DG dapat digunakan dengan pembatas nonlinier (biasanya dengan sedikit pengurangan keakuratan), tetapi memenuhi ketimpangan entropi yang bijaksana sel tanpa membatasi dan dengan demikian dapat digunakan tanpa membatasi untuk beberapa masalah di mana skema lain membutuhkan pembatas. (Ini sangat berguna untuk optimisasi berbasis adjoint karena membuat adjoin diskrit lebih representatif dari persamaan adjoint kontinu.) Metode FE campuran untuk masalah elips menggunakan fungsi basis terputus-putus dan setelah beberapa pilihan quadrature, dapat ditafsirkan ulang sebagai metode volume hingga standar , lihat jawaban iniuntuk lebih. Metode Rekonstruksi DG (alias. atau "DG Pemulihan") menggunakan baik rekonstruksi konservatif seperti FV dan pengayaan tatanan internal, dan dengan demikian merupakan superset dari metode FV dan DG.$P_N P_M$

Perbedaan konseptual FEM dan FVM sama halusnya dengan perbedaan antara pohon dan pinus.

Jika Anda membandingkan skema FEM tertentu dengan diskritisasi FVM yang diterapkan pada masalah tertentu, maka Anda dapat berbicara tentang perbedaan mendasar yang menjadi jelas dalam pendekatan implementasi yang berbeda dan properti aproksimasi yang berbeda (seperti yang dijabarkan oleh @Jed Brown dalam jawabannya).

Tetapi secara umum saya akan mengatakan bahwa FVM adalah kasus khusus FEM, menggunakan kisi-kisi sel dan fungsi uji piecewise konstan. Hubungan ini juga digunakan untuk analisis konvergensi FVM karena dapat ditemukan dalam buku oleh Grossmann, Roos & Stynes: Perlakuan Numerik Persamaan Diferensial Parsial .

Perbedaan mendasar hanyalah makna yang harus dilampirkan pada hasil. FDM memprediksi nilai poin dari setiap aspek solusi. Interpolasi antara nilai-nilai ini sering diserahkan kepada imajinasi pengguna. FVM memprediksi rata-rata variabel yang disimpan dalam volume kontrol tertentu. Oleh karena itu ia memprediksi variabel terpelihara yang terintegrasi dan dapat ditunjukkan untuk menyatu dengan solusi yang lemah (terputus-putus). FEM memberikan satu set nilai-nilai diskrit dari mana solusi perkiraan dapat dideduksi secara jelas di mana-mana dengan menggunakan serangkaian fungsi basis. Biasanya, tetapi tidak harus, variabel yang terlibat bersifat konservatif. Dimungkinkan untuk memiliki metode beda hingga yang konservatif dalam beberapa hal, menurut aturan quadrature tertentu.

Ini adalah masalah definisi. Ada banyak variasi dari ketiga metode ini. Tidak setiap metode bersih dari satu jenis, dan detailnya bervariasi di antara area aplikasi. Para peneliti menciptakan metode baru menggunakan alat-alat yang akan membantu menyediakan properti yang mereka cari. Seperti yang tampaknya sudah Anda temukan, sulit untuk menemukan diskusi yang berwibawa dan akan sulit bagi saya untuk memberikannya. Saran terbaik yang bisa saya berikan adalah terus membaca, tanpa mengharapkan jawaban yang benar-benar jelas, tetapi berikan kepercayaan pada hal-hal yang masuk akal bagi Anda.