Apa gagasan umum metode Nitsche dalam analisis numerik?

Metode Nitsche terkait dengan metode Galerkin diskontinyu (memang, seperti yang ditunjukkan Wolfgang, itu adalah pendahulu dari metode ini), dan dapat diturunkan dengan cara yang serupa. Mari kita pertimbangkan masalah paling sederhana, persamaan Poisson: Kami sekarang mencari formulasi variasional itu

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ kamu & = f di Ω, \\ kamu & = g di \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

puas dengan solusi (lemah) (yaitu, konsisten), $u\in H^1(\Omega)$
simetris dalam $u$ dan $v$ ,
mengakui solusi unik (yang berarti bahwa bentuk bilinear adalah koersif).

Kita mulai seperti biasa dengan mengambil bentuk kuat dari persamaan diferensial, mengalikannya dengan fungsi tes dan mengintegrasikan dengan bagian-bagian. Dimulai dengan sisi kanan, kita memperoleh di mana dalam persamaan terakhir kami telah menambahkan nol produktif pada batas. Mengatur ulang istilah untuk memisahkan bentuk linear dan bilinear sekarang memberikan persamaan variasional untuk bentuk bilinear simetris yang dipenuhi untuk solusi dari . $v\in H^1(\Omega)$

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ kamu, v) & = (\nabla kamu, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} kamu v d s \\ = (\nabla kamu, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} kamu v d s - \int_{\partial Ω} (kamu - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

Namun, bentuk bilinear bukan paksaan, karena Anda tidak dapat mengikatnya dari bawah untuk oleh (karena kami tidak memiliki syarat batas untuk arbitrary , kita tidak dapat menggunakan ketidaksetaraan Poincaré seperti biasa - ini berarti kita dapat membuat bagian dari norma menjadi besar secara sewenang-wenang tanpa mengubah bentuk bilinear). Jadi kita perlu menambahkan istilah lain (simetris) yang hilang untuk solusi yang benar: untuk beberapa cukup besar. Ini mengarah pada formulasi lemah (simetris, konsisten, koersif): Cari sedemikian rupa sehingga $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

Mengambil alih-alih pendekatan terpisah menghasilkan perkiraan Galerkin biasa. Perhatikan bahwa karena tidak sesuai karena kondisi batas (kami mencari solusi diskrit dalam ruang yang lebih besar dari yang kami cari solusi kontinu), seseorang tidak dapat menyimpulkan posisi yang baik dari masalah diskrit dari masalah terus menerus. Nitsche sekarang menunjukkan bahwa jika dipilih sebagai untuk cukup besar, masalah diskrit sebenarnya stabil (sehubungan dengan norma yang bergantung pada mesh yang cocok). $u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

(Ini bukan derivasi asli Nitsche, yang mendahului metode Galerkin terputus-putus dan dimulai dari masalah minimisasi yang setara. Bahkan, makalah aslinya tidak menyebutkan bentuk bilinear yang sesuai sama sekali, tetapi Anda dapat menemukannya di, misalnya, Freund dan Stenberg, Pada kondisi batas yang diberlakukan secara lemah untuk masalah tingkat kedua , Prosiding Elemen Hingga Kesembilan Int. Elemen Hingga di Cairan, Venesia 1995. M. Morandi Cecchi dkk., Eds. Hlm. 327-336 .)

Christian Clason
sumber

Kalimat pertama Anda tidak salah, tetapi secara historis tidak akurat: Gagasan Nitsche didahulukan dan mengilhami pengembangan metode Galerkin yang terputus-putus. Yang mengatakan, ini tidak mengambil dari jawaban yang sangat baik.

Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth Anda tentu saja benar; tidak ada kausalitas yang tersirat, hanya korelasi. Tetapi penting untuk memberikan atribusi yang tepat, terutama kepada orang-orang yang jika tidak mendapat giliran kerja pendek. Saya akan mengedit untuk memperjelasnya.

Christian Clason

Pertanyaan: 1. Bisakah Anda menguraikan lebih lanjut tentang masalah koersivitas sebelum menambahkan syarat batas tambahan? 2. Apa yang dimaksud dengan "ketidaksesuaian" di sini? 3. Saya pikir saya membaca bahwa stabilitas adalah hasil otomatis dari koersivitas bentuk bilinear ..? Meskipun penjelasan ini cukup bagus (satu-satunya penjelasan yang saya dapat temukan sebenarnya), adakah yang bisa menautkan ke penjelasan keseluruhan lain dari metode (dan / atau turunannya) hanya untuk perbandingan? Bahkan jika saya dapat menemukan kertas aslinya, tidak yakin itu akan banyak membantu. Makalah Freund dan Stenberg hanya memberikan sinopsis singkat dan spesifik pasangan

Malam

Ketidaksesuaian: ruang solusi diskrit bukan subruang dari ruang solusi kontinu - karena kondisi batas Dirichlet ditegakkan hanya dalam arti yang lemah. Berikut adalah tautan yang berpotensi bermanfaat .

V_{h}

$V_h$

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$

GoHokies

@Malam Saya sudah mengedit jawaban untuk menjawab poin Anda (kecuali yang ada di paragraf kedua, jelas).

Christian Clason

Apa gagasan umum metode Nitsche dalam analisis numerik?

Jawaban: