Penjelasan dasar fungsi bentuk

Saya baru saja mulai mempelajari FEM secara lebih terstruktur dibandingkan dengan apa yang saya lakukan selama kuliah sarjana saya. Saya melakukan ini karena, terlepas dari kenyataan bahwa saya dapat menggunakan "FEM" dalam perangkat lunak komersial (dan non-komersial lainnya), saya ingin benar-benar memahami teknik bawah tanah yang mendukung metode ini. Itu sebabnya saya datang ke sini dengan pertanyaan mendasar seperti itu, setidaknya untuk pengguna yang berpengalaman.

Sekarang saya membaca buku yang cukup populer (saya pikir) dan "ramah-insinyur" yang disebut "Metode elemen hingga - Dasar-dasar" dari Zienkwicz. Saya sudah membaca buku ini dari halaman pertama, tetapi saya belum bisa memahami konsep fungsi bentuk seperti yang dijelaskan Zienkwicz.

Apa yang saya ketahui dari hal-hal yang saya baca adalah bahwa matriks "Kekakuan", yang menghubungkan hal yang tidak diketahui dengan hasilnya ( dalam: ), memiliki komponen-komponennya dari "hubungan antar simpul", dan jika "hubungan" itu berubah, (yaitu jika kita mengubahnya menjadi interpolant dengan urutan yang lebih tinggi), matriks kekakuan itu berubah, karena hubungan antara simpul-simpul itu berubah.$A$$Ak=b$

Tetapi dalam buku ini, definisi ini cukup kabur bagi saya, karena dalam beberapa hal dikatakan bahwa Anda dapat secara sewenang-wenang memilih fungsi sebagai, yaitu, matriks identitas:

Satu-satunya penjelasan yang saya temukan adalah di blog ini , tetapi masih belum begitu jelas bagi saya. Jadi, seseorang dapat memberi saya penjelasan sederhana tentang apa itu Function functon dan bagaimana hal itu dilakukan untuk "memasukkannya" ke dalam matriks kekakuan?

Saya selalu menemukan pendekatan untuk menggambarkan metode elemen hingga yang berfokus pada sistem linear diskrit dan bekerja mundur yang tidak perlu membingungkan. Jauh lebih jelas untuk pergi ke arah lain, bahkan jika itu melibatkan sedikit notasi matematika di awal (yang saya akan coba untuk menjaga ke minimum).

Asumsikan bahwa Anda sedang mencoba untuk memecahkan persamaan untuk diberikan dan tidak diketahui , di mana adalah operator linear yang memetakan fungsi (misalnya, menggambarkan perpindahan di setiap titik di domain) di ruang ke fungsi di ruang lain (misalnya, menggambarkan kekuatan yang diterapkan). Karena ruang fungsi biasanya berdimensi tak terbatas, sistem ini tidak dapat diselesaikan secara numerik. Karenanya, pendekatan standar adalah untuk menggantikan dengan subruang dimensi-terbatas dan mencari memuaskanf u A ( x , y ) V V V V h u h ∈ V h A u h = f V A u h - f ∈ V V h v T h ( A u h - f ) = 0 v h V h u h v T i A u $A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$. Ini masih tak terbatas-dimensi karena ruang jangkauan (yang kita asumsikan untuk kesederhanaan menjadi juga), jadi kita hanya meminta residual menjadi ortogonal untuk - atau setara, bahwa untuk setiap basis vektor di . Jika sekarang kita menulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis ini, kita dibiarkan dengan sistem linear untuk koefisien yang tidak diketahui dalam kombinasi ini. (Istilah persis entri dari matriks kekakuan , dan adalah entri dari vektor beban. Jika$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$ v T j f $K_{ij}$$v_j^Tf$$A$ adalah operator diferensial, yang biasanya melakukan integrasi dengan bagian-bagian di beberapa titik, tetapi ini tidak penting di sini.)

Sejauh ini tidak ada yang khusus untuk metode elemen hingga, tetapi berlaku untuk apa yang disebut metode Galerkin atau metode residu tertimbang. Metode elemen hingga ditandai dengan pilihan khusus : Domain komputasi didekomposisi menjadi sejumlah elemen dengan bentuk dasar yang sama (misalnya, segitiga; proses ini sering disebut triangulasi ), dan ruang dipilih sedemikian rupa sehingga dibatasi untuk setiap elemen, fungsi dalam adalah polinomial (misalnya, linear dalam danV h V h x y V h { ψ j } ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ψ j 1 $V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$). Selanjutnya, fungsi dasar dipilih sedemikian rupa sehingga tidak nol hanya di (lingkungan) salah satu elemen. Maksud dari pilihan ini adalah Anda dapat membangun basis dengan cukup mudah dengan menemukan basis ruang polinomial pada elemen referensi tunggal (seperti segitiga dengan simpul , dan ) dan kemudian menggunakan transformasi affine untuk memetakan fungsi-fungsi dasar ini menjadi fungsi-fungsi dasar pada setiap elemen dalam triangulasi. Ini adalah fungsi bentuk. Biasanya, seseorang mengharuskan fungsi basis lokal mengambil nilai$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$hanya di salah satu simpul dan di yang lain (disebut basis nodal ), yang merupakan halaman yang Anda tautkan bicarakan.$0$

(Pilihan lain dari mengarah ke metode lain; pada kenyataannya, ada metode spektral di mana fungsi dasar dipilih sehingga matriks kekakuan adalah identitas. Tentu saja, tidak ada makan siang gratis, sehingga bagian lain dari prosedur menjadi lebih sulit dengan dasar ini.)$V_h$

Dalam pendekatan teknik untuk FEM dalam Mekanika Struktural, bagaimana disajikan, Anda kehilangan perasaan bahwa Anda sedang menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial .

Mereka menunjukkan kepada Anda matriks ini, mereka melampirkan beberapa makna fisik, dan menurut pendapat saya ini mengarahkan Anda untuk mengembangkan intuisi fisik yang meragukan untuk bidang tersebut.

Mungkin bermanfaat untuk memikirkan tentang subjek istilah geometri. Solusi untuk masalah nilai batas untuk PDE adalah beberapa bentuk. VI Arnol pernah berkata memuji prestasi Newton di bidang ini, untuk parafrase - dia melakukan hal yang luar biasa dengan menciptakan bidang persamaan diferensial dengan memungkinkan kita untuk merumuskan kembali masalah ilmu alam ke masalah geometri kurva pada bidang dan permukaan dalam ruang.

Dalam FEM Anda mendekati solusi (dalam FD dan FVM Anda memperkirakan persamaan yang mengatur).

Masukkan Boris Gligorievich Galerkin. Apa yang dikatakan BG Galerkin?

Dia berkata: " Saya ingin Anda, tidak dapat membuat residual dengan fungsi dasar yang sama, Anda digunakan untuk membuat solusi. ”

(PS Kisah ini sama sekali tidak benar, dan saya mendesak para pembaca saya untuk menemukan penjelasan yang lebih baik tentang metode (Bubnov-) Galerkin, jika ada.)

Fungsi dasar, atau fungsi percobaan adalah yang Anda gunakan untuk membangun solusi. Anda menggunakannya untuk memperkirakan bentuk solusi.

$Ku=f$

$Ku=f$

Hal yang paling penting untuk diketahui tentang "fungsi bentuk" adalah bahwa mereka menggambarkan bagaimana variabel dependen yang ingin Anda hitung (misalnya perpindahan) bervariasi sebagai fungsi koordinat spasial elemen (misalnya x dan y) dalam hal beberapa parameter skalar yang tidak diketahui.

Seringkali fungsi bentuk adalah polinomial sederhana dan parameter skalar adalah nilai-nilai variabel dependen pada node elemen.

Membentuk persamaan elemen hingga menggunakan fungsi bentuk ini memerlukan beberapa konsep dasar lainnya seperti membangun "bentuk lemah" dari persamaan diferensial parsial yang Anda coba selesaikan.

Ada banyak "mistisisme" yang tidak perlu terkait dengan metode elemen hingga, jadi saya mendorong pendekatan Anda untuk mencoba mendapatkan pemahaman menyeluruh tentang fundamental.

Pandangan saya ada di kuliah 4 di http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . Secara khusus, ini memberi Anda ide mengapa kita memilih fungsi topi yang biasanya kita gunakan ketika kita menggunakan metode elemen hingga - yaitu, karena mereka mengarah pada konsep penting dari sparsity, meskipun banyak pilihan fungsi dasar lainnya akan menjadi sama-sama valid.

Setiap elemen telah dikaitkan dengan itu model perpindahan yang mengekspresikan variasi variabel lapangan (variabel dependen) dalam hal koefisien umum dan variabel independen (x, y, z) misalnya: 1D u (x) = a0 + a1x untuk 2 noded linear elemen u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 untuk 3 elemen kuadrat mengangguk dan sebagainya. Di sini ai adalah koefisien yang digeneralisasi. Kemudian kita hilangkan ai dan ungkapkan variasi variabel lapangan dalam hal fungsi bentuk dan nilai nodal dari variabel lapangan. misalnya: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Fungsi yang menghubungkan variasi variabel bidang dengan nilai nodal dari variabel lapangan disebut "FUNGSI BENTUK". Jumlah fungsi bentuk akan tergantung pada jumlah node dan jumlah variabel per node. Fungsi bentuk karena itu dapat dilihat sebagai fungsi, yang menunjukkan kontribusi setiap nilai nodal pada titik internal elemen. Untuk elemen dua anggukan Pada simpul 1 kontribusi N1 adalah kesatuan & bahwa dari N2 adalah nol.

Pada simpul 2 kontribusi N2 adalah kesatuan & bahwa N1 adalah nol.

Pada titik tengah elemen kedua node memiliki bobot atau pengaruh yang sama. Jadi fungsi bentuk menunjukkan tidak hanya bagaimana variabel bidang bervariasi pada elemen tetapi juga seberapa besar pengaruh masing-masing nilai nodal dari variabel bidang pada titik internal elemen. Selamat belajar :)

Saya juga menjelaskan fungsi bentuk secara lebih rinci di sini: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Ini menjelaskan langkah demi langkah dengan cara visual bagaimana metode Rayleigh-Ritz bekerja. Menulis artikel ini akhirnya membantu saya untuk memahami fungsi bentuk.

sesuai pemahaman saya .. fungsi bentuk tidak lain adalah hubungan antara variabel lapangan dan titik nodal.

Asumsikan bumi kita sedang diberi tekanan dengan beban luar dan bumi kita akan retak. dengan metode analitis, kami menggunakan banyak formula dan mengetahui bahwa pada beberapa bagian (seperti mengasumsikan Benua Asia) bumi akan retak. Dengan menggunakan metode FEM, kami membagi bumi menjadi berbagai negara, negara bagian dan kota, kami menyatukan setiap kota, dan akhirnya bergabung dengan semua kota untuk membentuk satu bola dunia yang disebut bumi. fungsi bentuk adalah kunci yang menyediakan jembatan antara kota-kota yang terhubung untuk membentuk negara dan negara dan akhirnya bola dunia. itu adalah tautan yang menghubungkan jala. Setelah ini dilakukan, beban diterapkan dan tempat yang tepat dapat ditemukan di mana retakan dimulai dan yang dapat diperkuat.

Semoga ini bisa membantu Anda.

Sesuai apa yang saya mengerti tentang fungsi bentuk adalah bahwa, itu tentang menghubungkan koordinat nodal geometri dengan perpindahan Elemen dengan fungsi bentuk yang sama.

Pertimbangkan kasus 1D. Bar dengan 2 node di ujungnya.

Ketika saya menghubungkan elemen ini dengan koordinat nodal, saya bisa mengetahui perpindahan pada titik mana pun di elemen ini dengan bantuan fungsi interpolasi.

Jadi, pada dasarnya fungsi bentuk adalah perkiraan yang kami lakukan untuk menemukan deformasi pada titik mana pun di ruang angkasa dengan cara yang terpuji.

Fungsi bentuk adalah fungsi yang menghubungkan perpindahan di titik mana pun pada elemen dengan perpindahan node elemen. Grafik fungsi bentuk vs poin pada elemen menunjukkan "bentuk" cacat elemen dan karenanya fungsi bentuk nama.