Saya membaca makalah [1] di mana mereka memecahkan persamaan non-linear berikut menggunakan metode beda hingga. Mereka juga menganalisis stabilitas skema menggunakan analisis stabilitas Von Neumann. Namun, seperti yang disadari oleh penulis, ini hanya berlaku untuk PDE linier. Jadi penulis menyiasatinya dengan "pembekuan" istilah non-linear, yaitu mereka mengganti u u x jangka dengan U u x , di mana U adalah "dianggap mewakili nilai-nilai lokal yang konstan
. "
Jadi pertanyaan saya ada dua:
1: bagaimana menafsirkan metode ini dan mengapa itu tidak berhasil?
2: bisakah kita juga mengganti istilah dengan istilah u U x , di mana U x dianggap mewakili nilai konstanta u x secara lokal ?
Referensi
- Eilbeck, JC, dan GR McGuire. "Studi numerik dari persamaan gelombang-panjang I yang teregulasi: metode numerik." Jurnal Fisika Komputasi 19.1 (1975): 43-57.
Jawaban:
Apa yang Anda katakan disebut linierisasi. Ini adalah teknik umum yang digunakan dalam analisis PDE non-linear. Apa yang dilakukan adalah untuk memberikan persamaan dalam format,
Di sini A adalah matriks yang dihasilkan dari linierisasi persamaan.
Sekarang untuk pertanyaan Anda,
yang merupakan bentuk konservasi. Begitu,
ketika diwakili dalam arti volume terbatas memberi batasan pada evolusi u.
sumber
Untuk menguraikan argumen linearisasi, dalam uu_x Anda ingin menganggap Anda konstan secara lokal, bukan u_x, karena dua alasan: a) u bervariasi lebih lambat daripada turunannya, dan b) dalam kasus khusus ini, jika Anda menganggap u_x adalah konstanta lokal , menurut definisi Anda juga menganggap Anda adalah linier lokal, yang berarti turunan ruang yang lebih tinggi adalah nol, dan ini tidak hanya menimbulkan kesalahan perkiraan tambahan, tetapi mungkin menyiratkan Anda mungkin membuang bayi dengan air mandi, tergantung pada persamaan Anda.
sumber