Secara umum, saya pernah mendengar analis numerik mengutarakan pendapat itu
"Tentu saja, secara matematis, waktu hanyalah dimensi lain, tetapi tetap saja, waktu itu istimewa"
Bagaimana cara membenarkan ini? Dalam hal apa waktu khusus untuk ilmu komputasi?
Selain itu, mengapa kita sering lebih suka menggunakan perbedaan hingga, (mengarah ke "time-stepping"), untuk dimensi waktu, sementara kita menerapkan perbedaan hingga, elemen hingga, metode spektral, ..., untuk dimensi spasial? Salah satu alasan yang mungkin adalah bahwa kita cenderung memiliki IVP dalam dimensi waktu, dan BVP dalam dimensi spasial. Tapi saya tidak berpikir ini sepenuhnya membenarkannya.
sumber
Mirip dengan kausalitas yang disebutkan Wolfgang dalam jabatannya, kita dapat melihat alasan mengapa dimensi waktu khusus dari sudut pandang ruangwaktu Minkowski:
The ruang-waktu berdimensi memiliki produk dalam didefinisikan sebagai ( A , B ) = A x B x + A y B y + A z( 3 + 1 )
jikaAdanBadalah dua 1-bentuk dalam ruangwaktu Minkowski:
A=Axdx+Aydy+Azdz+
Seperti yang Anda lihat, produk dalam ini tidak pasti positif karena kehadiran dimensi waktu yang diskalakan oleh kecepatan cahaya , oleh karena itu secara intuitif, ketika menangani masalah mengenai kuantitas yang diperbanyak dalam ruangwaktu, kita tidak dapat dengan mudah menerapkan teorema dalam 3 -dimensi Euclidean dimensi ke ac ( 3 + 1 )
Mungkin di luar topik, tetapi perbedaan besar lain ruang vs ruangwaktu (elliptic vs hyperbolic) adalah bahwa sebagian besar persamaan elips memodelkan keseimbangan dan ellipticity memberi kita keteraturan "baik", sementara ada semua jenis diskontinuitas dalam masalah hiperbolik (shock, rarefaction, dll).
EDIT: Saya tidak tahu ada artikel khusus tentang perbedaan selain memberi Anda definisi, berdasarkan apa yang saya pelajari sebelumnya, persamaan elips khas seperti persamaan Poisson atau elastisitas, memodelkan fenomena statis, memiliki solusi "halus" jika data dan batas domain minat adalah "halus", ini disebabkan oleh eliptisitas (atau lebih tepatnya mengatakan properti definitif positif) dari operator diferensial yang mengatur, jenis persamaan ini membawa kita ke pendekatan tipe Galerkin yang sangat intuitif (melipatgandakan fungsi pengujian dan integrasi oleh bagian), elemen hingga kontinu khas bekerja dengan baik. Hal serupa berlaku untuk persamaan parabola seperti persamaan panas, yang pada dasarnya merupakan persamaan elips berbaris dalam waktu, memiliki properti "smoothing" yang serupa, sudut tajam awal akan dihaluskan seiring waktu,
Untuk masalah hiperbolik, biasanya berasal dari hukum konservasi, adalah "konservatif" atau "dispersif". Misalnya, persamaan adveksi linier, yang menggambarkan aliran kuantitas tertentu dengan bidang vektor, mempertahankan bagaimana kuantitas spesifik ini pada awalnya, hanya bergerak secara spasial di sepanjang bidang vektor ini, diskontinuitas akan menyebar. Persamaan Schrodinger, persamaan hiperbolik lainnya, bagaimanapun, adalah dispersif, itu adalah propagasi dari kuantitas kompleks, keadaan awal non-osilasi akan menjadi paket gelombang osilasi yang berbeda dari waktu ke waktu.
Seperti yang Anda sebutkan "time-stepping", Anda bisa berpikir kuantitas "mengalir" di "ladang" waktu dengan kecepatan tertentu sebagai kausalitas, sangat mirip dengan persamaan adveksi linier BVP, kita hanya perlu memaksakan kondisi batas inflow, yaitu, seperti apa kuantitas saat mengalir ke domain yang diminati, dan solusinya akan memberi tahu kami seperti apa kuantitas saat mengalir keluar, ide yang sangat mirip dengan setiap metode yang menggunakan loncatan waktu. Memecahkan persamaan adveksi 2D di ruang angkasa seperti memecahkan masalah propagasi satu sisi 1D dalam ruangwaktu. Untuk skema numerik, Anda dapat google tentang FEM ruangwaktu.
sumber
Sementara ada beberapa pengecualian (misalnya metode elemen hingga diskrit sepenuhnya), diskretisasi temporal umumnya menyiratkan ketergantungan berurutan yang inheren dalam aliran informasi. Ketergantungan ini membatasi algoritma semi-diskrit (BVP dalam ruang, IVP dalam waktu) untuk menghitung solusi untuk sub-masalah secara berurutan. Diskretisasi ini biasanya lebih disukai karena kesederhanaannya dan karena menawarkan analis banyak algoritma yang dikembangkan dengan baik untuk akurasi yang lebih tinggi baik dalam ruang dan waktu.
Dimungkinkan (dan lebih sederhana) untuk menggunakan perbedaan hingga dalam dimensi spasial juga, tetapi metode elemen hingga menawarkan fleksibilitas yang lebih mudah dalam jenis domain yang diinginkan (misalnya bentuk non-reguler) daripada metode beda hingga. Pilihan diskritisasi spasial yang "baik" seringkali sangat tergantung pada masalah.
sumber