LEN-Model equivalency

Posisi awal adalah model-agen-utama dengan informasi yang tidak lengkap (moral hazard) dan sifat-sifat berikut:

• Utilitas agen: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
• Utilitas utama: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
• Tingkat upaya $e\in \Bbb R$
• $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
• Kontrak: ,$w(x)=a+bx$

di mana dan adalah ukuran Arrow-Pratt dari penghindaran risiko absolut untuk masing-masing agen dan prinsipal.$r_A$$r_P$

Saya mencari kontrak optimal untuk kepala sekolah untuk menawarkan kepada agen ketika upaya agen tidak terlihat. Utilitas kepala sekolah dapat ditulis sebagai berikut:

$$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$$

Saya ingin menunjukkan bahwa kesetaraan berikut berlaku, yang berarti bahwa maksimalisasi utilitas kepala sekolah dapat ditulis sebagai RHS dari kesetaraan berikut:

$$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$$

di mana adalah fungsi kerapatan variabel acak normal , dengan nilai yang diharapkan dan varians .$f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$$x\sim N(\mu(e),\sigma)$$\mu(e)$$\sigma>0$

Saya mencoba menggunakan bentuk eksplisit dari di LHS, memanipulasinya sedikit dan kemudian memecahnya tetapi tidak bisa mendapatkan kesetaraan.$f(x|e)$