Preferensi lebih dari lotere tanpa aksioma kemerdekaan

Misalkan satu set $N$hasil dapat peringkat dalam urutan sebagai berikut: . Lebih jauh, anggaplah seorang pembuat keputusan lebih memilih lotere daripada hasil ini. Asumsikan preferensi daripada lotere adalah rasional, berkelanjutan, tetapi tidak selalu konsisten dengan aksioma independensi .$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Apakah itu mengikuti bahwa lotere terbaik dalam hal ini adalah lotere yang merosot ?$(1,0,\dots,0)$

Bagaimana jika aksioma kemerdekaan dilanggar ?

Tidak, belum tentu. Tanpa aksioma kemandirian (atau sesuatu untuk menggantikannya) tidak ada banyak yang dapat Anda simpulkan tentang preferensi lotre (non-degenerasi) dari mengetahui preferensi daripada hasil saja.

Sebagai contoh, misalkan menjadi probabilitas hasil . Kemudian preferensi daripada lotere diwakili oleh fungsi utilitas$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

kontinu dan rasional, tetapi tidak memuaskan aksioma kemerdekaan. Untuk cukup besar, bahkan bukan kasus adalah lotere terbaik, meskipun dan .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Untuk melihat mengapa, perhatikan itu

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Namun, untuk ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Pelanggaran aksioma kemerdekaan dapat dilihat dari fakta bahwa, ketika ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

meskipun

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$