Apakah penghindaran risiko menyebabkan berkurangnya utilitas marginal, atau sebaliknya?

Biarkan $A$ menjadi himpunan negara yang mungkin ada di dunia, atau kemungkinan preferensi yang bisa dimiliki seseorang. Mari $G(A)$ adalah himpunan "berjudi" atau "lotere", yaitu himpunan distribusi probabilitas lebih $A$ . Maka masing-masing orang akan memiliki pemesanan yang disukai dari negara bagian di $A$ , serta pemesanan yang lebih disukai dari lotere di $G(A)$ . Teorema von Neumann-Morgenstern menyatakan bahwa, dengan asumsi pemesanan preferensi Anda atas $G(A)$ mematuhi aksioma rasionalitas tertentu, preferensi Anda dapat diwakili oleh fungsi utilitas $u: A → ℝ$ . (Fungsi ini unik hingga perkalian skalar dan penambahan konstanta.) Itu berarti bahwa untuk setiap dua lotere dan di , Anda lebih suka ke jika dan hanya jika nilai yang diharapkan dari bawah lebih besar dari nilai yang diharapkan dari bawah . Dengan kata lain, Anda memaksimalkan nilai yang diharapkan dari fungsi utilitas. $L_1$ $L_2$ $G(A)$ $L_1$ $L_2$ $u$ $L_1$ $u$ $L_2$

Sekarang hanya karena Anda memaksimalkan nilai yang diharapkan dari fungsi utilitas Anda tidak berarti Anda memaksimalkan nilai yang diharapkan dari hal-hal aktual seperti uang. Lagi pula, orang sering kali menolak risiko; mereka mengatakan "seekor burung di tangan bernilai dua di semak-semak". Penghindaran risiko berarti bahwa Anda menghargai taruhan dengan nilai uang yang Anda peroleh dari yang diharapkan. Jika kami menyatakan gagasan ini dalam hal fungsi utilitas von Neumann-Morgenstern, kami mendapatkan hasil berikut melalui ketidaksetaraan Jensen: seseorang menolak risiko jika dan hanya jika fungsi utilitasnya merupakan fungsi cekung uang Anda, yaitu sejauh mana Anda menolak risiko sama dengan sejauh mana Anda memiliki utilitas uang marjinal yang semakin berkurang. (Lihat halaman 13 dari PDF ini .)

Pertanyaan saya adalah, ke arah mana kausasi berjalan? Apakah nilai-nilai fungsi utilitas von Neumann-Morgenstern mencerminkan intensitas preferensi Anda, dan merupakan penghindaran risiko karena mendiskontokan preferensi diri masa depan yang berkecukupan dibandingkan dengan preferensi versi masa depan dari diri Anda yang lebih miskin dan karenanya bernilai uang lebih banyak (seperti yang disarankan Brad Delong di sini )? Atau apakah penyebabnya berjalan sebaliknya: apakah toleransi Anda terhadap risiko menentukan bentuk fungsi utilitas Anda, sehingga fungsi utilitas von Neumann-Morgenstern tidak memberi tahu Anda apa pun tentang intensitas relatif preferensi Anda?

microeconomics utility academic-graduate expected-utility risk-aversion Keshav Srinivasan
sumber

Jawaban:

Saya pikir saya telah menemukan jawaban untuk pertanyaan saya, dalam kutipan dari makalah pemenang Nobel John C. Harsanyi tahun 1994 ini, "Validitas normatif dan makna utilitas von neumann-morgenstern", dipresentasikan pada Kongres Internasional Logika, Metodologi, dan Filsafat Internasional Kesembilan. Ilmu. Harsanyi mulai dengan membuktikan lemma yang sama yang Alecos buktikan dalam jawabannya, yaitu bahwa jika adalah fungsi utilitas vNM dari seorang individu, maka $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ jika dan hanya jika mereka lebih suka 5 dolar dijamin dibandingkan dengan 50% dari 10 dolar dan peluang 50% dari 0 dolar. Pada bagian komentar saya katakan itu tidak cukup untuk menunjukkan bahwa fungsi utilitas vNM mewakili intensitas preferensi, karena bagaimana jika kesenangan dan rasa sakit individu yang sebenarnya secara akurat dijelaskan oleh beberapa fungsi utilitas lain , yang merupakan transformasi monoton tetapi bukan transformasi affine dari ? Dalam hal itu tidak bisa gagal memenuhi properti nilai yang diharapkan, dan tidak bisa ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi memiliki argumen yang cerdik dalam menangani masalah ini. Biarkan menjadi lotre di mana Anda mendapatkan 5 dolar dijamin, biarkan menjadi lotre di mana Anda memiliki peluang 50% dari 10 dolar dan peluang 50% dari 0 dolar, dan biarkan menjadi lotre di mana Anda memiliki peluang 50% untuk 10 dolar dan peluang 50% dari 5 dolar. Maka jelas orang lebih memilih untuk kedua dan . Dan Harsanyi berpendapat bahwa lebih disukai daripada kurang kuat daripada lebih disukai daripada jika dan hanya jika . Itu karena dalam pilihan antara, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ vs , 50% dari waktu mereka mendapatkan 5 dolar, dan 50% dari waktu mereka harus membuat pilihan antara 10 dan 5. Demikian pula dalam pilihan antara dan , 50% dari waktu mereka mendapatkan 10 dolar, dan 50% dari waktu mereka harus membuat pilihan antara 5 dan 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Sekarang tibalah master stroke: lebih disukai daripada jika dan hanya jika lebih disukai daripada kurang kuat daripada lebih disukai daripada . Oleh karena itu, lebih disukai daripada jika dan hanya jika . Dan dengan demikian kita mencapai kesimpulan utama bahwa jika dan hanya jika . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Dengan demikian Harasanyi mencapai kesimpulan bahwa fungsi utilitas vNM mewakili intensitas preferensi. Jadi jawaban atas pertanyaan saya tampaknya adalah bahwa semakin berkurangnya utilitas marginal dalam fungsi utilitas vNM mencerminkan utilitas marginal yang semakin berkurang ketika menyangkut intensitas preferensi, dan dengan demikian (dengan asumsi aksioma vNM benar), semakin berkurang utilitas marjinal benar-benar merupakan penyebab risiko keengganan.

Ngomong-ngomong, di samping catatan saya bertanya-tanya apakah kita bisa mengidentifikasi set semua fungsi yang memenuhi batasan bahwa jika dan hanya jika (dan juga lebih besar dari dan sama dengan). (EDIT: Saya bertanya tentang ini di Mathematics.SE sini .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

Keshav Srinivasan
sumber

@AlecosPapadopoulos Terima kasih! Tetapi bukti ini sebenarnya bukan kasus "mengerjakan aksioma"; fungsi tidak harus memenuhi properti nilai yang diharapkan sama sekali.

v

$v$

Keshav Srinivasan

@AlecosPapadopoulos Ngomong-ngomong, saya hanya memposting pertanyaan lain yang berkaitan dengan teori utilitas yang diharapkan yang mungkin Anda minati: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

Keshav Srinivasan

Fungsi utilitas adalah representasi preferensi, yang secara tradisional disimpulkan dari pilihan. Preferensi datang sebelum utilitas. Saya tidak akan menyebut hubungan antara utilitas dan preferensi kausalitas, hanya hubungan matematis.

Penghindaran risiko (preferensi risiko) tidak terhubung dengan diskon, yang mengukur preferensi waktu. Tidak masuk akal untuk mengatakan bahwa penghindaran risiko adalah karena mendiskontokan preferensi diri di masa depan.

Sander Heinsalu
sumber

"Saya tidak akan menyebut hubungan antara utilitas dan preferensi kausalitas, hanya hubungan matematis." Inti pertanyaan saya bukan tentang apakah preferensi mengarah ke fungsi utilitas. Inilah yang saya tanyakan secara mendasar: apakah nilai-nilai fungsi utilitas von Neumann-Morgenstern mencerminkan intensitas preferensi, atau apakah mereka hanya mencerminkan sikap terhadap risiko yang tidak ada hubungannya dengan intensitas preferensi? Dan omong-omong, dengan mendiskontokan, saya tidak bermaksud mendiskontokan waktu. Maksud saya menilai versi diri Anda di beberapa futures mungkin lebih dari versi di futures lain.

Keshav Srinivasan

Representasi utilitas yang diharapkan dari preferensi adalah unik hingga benar-benar meningkatkan transformasi affine. Nilai utilitas tidak memiliki arti, hanya peringkatnya yang memiliki makna. Anda dapat mengalikan fungsi utilitas dengan 2 misalnya dengan preferensi tidak berubah.

Sander Heinsalu

@KeshavSrinivasan Mungkin keduanya ingin memperbarui pertanyaan / jawaban dengan informasi tambahan yang Anda masukkan ke dalam komentar di sini. Mungkin pertanyaannya juga ditanyakan terlalu formal (dan karena itu, terlalu panjang). Saya merasa bahwa saya belajar sesuatu hanya dengan membaca komentar-komentar ini di sini.

FooBar

@SanderHeinsalu Mari kita bedakan antara dua hal. Ada informasi tambahan yang disampaikan oleh adanya fungsi utilitas vNM, yaitu informasi bahwa orang tersebut memenuhi aksioma vNM. Tapi saya berbicara tentang informasi yang disampaikan oleh fungsi vNM itu sendiri. Artinya, jika x, y, dan z adalah tiga elemen tetap dari A, maka kuantitas (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) bervariasi dari orang ke orang (di antara orang-orang yang memenuhi aksioma vNM), tetapi tidak bervariasi di antara fungsi utilitas vNM yang berbeda untuk orang yang sama. Jadi kuantitas ini menyampaikan sesuatu yang spesifik untuk seseorang.

Keshav Srinivasan

Sikap terhadap risiko adalah bagian dari preferensi. Jadi itu menyampaikan sikap terhadap risiko dan intensitas preferensi dalam beberapa hal. Tetapi ada juga utilitas independen negara dalam vNM, yang santai dalam beberapa teori keputusan nanti. Ini dapat diartikan sebagai intensitas preferensi yang sama untuk konsumsi di berbagai negara, dengan seluruh perbedaan utilitas dari konsumsi di berbagai negara dikaitkan dengan probabilitas negara.

Sander Heinsalu

Properti Utilitas yang Diharapkan bukan properti yang tergantung pada bentuk fungsional dari fungsi utilitas. Keberadaannya tergantung pada memuaskan "aksioma" tertentu (yang akan lebih tepat disebut sebagai "kondisi"), yang berkaitan dengan preferensi / perilaku manusia. Mereka mungkin diberikan ekspresi matematis yang ketat (yang baik), tetapi harus ada hubungannya dengan preferensi, yaitu sebelum setiap bentuk fungsional untuk fungsi utilitas ditentukan. Mari kita lihat apa artinya itu. Dalam komentar, OP menulis

"... jika x, y, dan z adalah tiga elemen tetap dari A, maka kuantitas bervariasi dari orang ke orang ( di antara orang-orang yang memenuhi aksioma vNM), tetapi tidak berbeda di antara fungsi utilitas vNM yang berbeda untuk orang yang sama. Jadi kuantitas ini menyampaikan sesuatu yang spesifik untuk seseorang. " $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Itu benar.

Mengutip dari Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , ch. 2 hal. 108

"Kami menyimpulkan bahwa rasio perbedaan utilitas memiliki makna yang melekat mengenai preferensi individu dan mereka harus mengambil nilai yang sama untuk setiap representasi utilitas VNM (hubungan preferensi yang lemah). Oleh karena itu, representasi utilitas VNM memberikan lebih dari sekadar informasi ordinal tentang preferensi pembuat keputusan, untuk sebaliknya, melalui transformasi monoton yang sesuai, rasio tersebut dapat mengasumsikan banyak nilai yang berbeda. "

Dalam contoh mereka tepat sebelum kutipan mereka menunjukkan itu

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

$\alpha$

$\alpha$

$(1-\alpha)/\alpha$

Jadi di sinilah Anda: fungsi utilitas vNM dikaitkan dengan peluang yang dapat mencirikan preferensi seseorang.

ADDENDUM
Setelah pertukaran pendapat dan pemikiran yang menarik tetapi terlalu panjang dalam komentar dengan OP, saya memutuskan untuk meningkatkan jawaban ini dengan sebuah contoh, untuk menunjukkan bahwa dalam konteks teori preferensi tertentu yang kita bahas, "intensitas preferensi "(seperti yang dibahas secara informal di sini) tidak dapat dipisahkan dari" sikap terhadap risiko "- mereka terkait erat.

Asumsikan bahwa seorang individu menyatakan (karena ia memiliki hak untuk): "Preferensi saya monoton dan saya lebih suka lebih sedikit daripada yang lebih kecil. Selain itu, lima euro berikutnya akan memberi saya utilitas yang sama persis dengan lima setelah mereka". Perhatikan bahwa ini adalah pembicaraan individu - kita tidak dapat menanyainya dengan apakah utilitas dapat menjadi kardinal atau tidak, dll. Mulai dari nol untuk kenyamanan, kami melambangkan pernyataannya sebagai

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

Dalam konteks diskusi dengan OP, ini adalah pernyataan tentang "intensitas preferensi".

$5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Pertanyaan: Dapatkah preferensi individu ini, sebagaimana dijelaskan oleh dua pernyataannya, diwakili oleh fungsi utilitas yang memiliki Properti Utilitas yang Diharapkan?

Jawab: Tidak.

$CE_G$ $5$

Karena itu kita memilikinya

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Sekarang untuk properti Utilitas yang Diharapkan untuk menahan, itu harus menjadi kasus itu

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

$(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

$(1)$

Jadi kami menyimpulkan bahwa seseorang yang preferensinya dijelaskan oleh pernyataan di atas tidak dapat diwakili oleh fungsi utilitas yang memiliki Properti Utilitas yang Diharapkan.

$5$ $G$

Alecos Papadopoulos
sumber

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

@KeshavSrinivasan Ini memberi peringkat intensitas, tetapi tidak mengukur intensitas.

Alecos Papadopoulos

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

CONTD Jika saya suka "plus 5", kurang dari saya tidak suka "minus 5", tidak masuk akal untuk berpikir bahwa, ketika datang ke ketidakpastian saya akan melakukan kesalahan sedikit lebih pada sisi tidak kehilangan 5, daripada menang 5 lebih? Ingat, fungsi utilitas yang menunjukkan penghindaran risiko, menunjukkan juga utilitas marginal yang semakin berkurang. Sikap terhadap risiko dan "intensitas preferensi" sangat terkait erat.

Alecos Papadopoulos