Bagaimana kutub terkait dengan respons frekuensi

Saya baru-baru ini jatuh ke dalam kesalahan , mengingat kutub s = 1 karena ada respon tak terbatas pada frekuensi 1. Namun, respons hanya 1. Sekarang, dapatkah Anda menurunkan respons frekuensi, mengingat kutub?

Kedua, teori mengatakan bahwa suatu sistem stabil ketika kutub berada di bidang kiri dan, dengan demikian, membusuk dalam waktu. Tapi tunggu. Apakah "kutub" berarti respons tanpa batas - pertumbuhan waktu?

Akhirnya, apakah itu pertanyaan yang tepat di DSP? IMO, D adalah singkatan dari digital sedangkan s-domain adalah analog. Saya tidak menemukan tag transformasi s-plane atau Laplace untuk melabeli posting saya.

Perbarui Terima kasih atas jawabannya. Tampaknya saya sudah mendapatkannya kecuali satu hal kecil tapi mendasar - hubungan kutub (dan nol) dengan frekuensi. Pada dasarnya, mengapa nilai eigen (atau, bagaimana Anda memanggil $s$ operator / variabel) terkait dengan frekuensi? Entah bagaimana itu harus dikaitkan dengan pertumbuhan eksponensial dan transformasi Laplace. Saya cukup mengerti bahwa kutub kebetulan merupakan nilai eigen (terutama untuk pengulangan diskrit). Tapi, bagaimana ini terkait dengan frekuensi?

Saya pikir sebenarnya ada 3 pertanyaan dalam pertanyaan Anda:

T1: Dapatkah saya memperoleh respons frekuensi berdasarkan kutub sistem (linear time-invariant)?

Ya, Anda bisa, hingga konstan. Jika $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ adalah kutub dari fungsi transfer, Anda dapat menulis fungsi transfer sebagai

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Perhatikan bahwa $s$ adalah variabel kompleks $s=\sigma+j\omega$ , dan variabel frekuensi $\omega$ sesuai dengan sumbu imajiner bidang- $s$ kompleks . Sekarang kita perlu mendapatkan respons frekuensi dari fungsi transfer. Untuk sistem yang stabil, ini hanya dapat dilakukan dengan mengevaluasi fungsi transfer $H(s)$ untuk $s=j\omega$ . Jadi Anda ganti $s$ dengan $j\omega$ di (1) dan Anda selesai. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa ini hanya berlaku untuk sistem stabil (yaitu jika wilayah konvergensi $H(s)$ termasuk$j\omega$ -axis).

T2: Bagaimana sistem yang stabil memiliki kutub?

Seperti yang Anda sudah tahu, kausal dan stabil sistem, semua kutub harus terletak di babak-pesawat sebelah kiri kompleks $s$ -pesawat. Memang, nilai fungsi transfer $H(s)$ akan menjadi tak terhingga pada kutub $s=s_{\infty}$ , tetapi respons frekuensi akan baik-baik saja, karena jika semua kutub berada di setengah bidang kiri, tidak ada kutub pada $j\omega$ -axis (atau di sebelah kanannya). Jika Anda melihat dalam waktu-domain, maka setiap (sederhana) pole memiliki kontribusi $e^{s_{\infty}t}$ untuk respon impuls sistem. Jika kutub terletak di setengah bidang kiri, ini berarti bahwa $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ memiliki bagian nyata negatif$\sigma_{\infty}<0$ . Begitu

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

adalah fungsi teredam secara eksponensial dan tidak tumbuh tetapi meluruh, karena $\sigma_{\infty}<0$ .

T3: Apakah pertanyaan ini ada di sini?

Anggota masyarakat lainnya harus menilai apakah pertanyaan ini ada di sini. Saya pikir itu benar. Ini jelas tidak berhubungan langsung dengan DSP murni, tetapi insinyur DSP sangat sering juga harus berurusan dengan sinyal dan sistem analog sebelum konversi AD, sehingga mereka juga tahu tentang teori sistem berkelanjutan. Kedua, hampir semua orang DSP (setidaknya yang memiliki pelatihan tradisional) mendapatkan cukup banyak paparan teori umum dan teori sistem, termasuk sistem waktu kontinyu dan waktu diskrit.

Omong-omong, untuk sistem waktu diskrit, Anda mendapatkan transformasi- $\mathcal{Z}$ alih-alih transformasi Laplace, dan variabel kompleks Anda sekarang disebut $z$ alih-alih $s$ . Variabel $D$ yang telah Anda sebutkan didefinisikan sebagai $D=z^{-1}$ dan terutama digunakan dalam literatur pengkodean. Menurut definisinya, ini menunjukkan elemen delay, jadi $D$ berarti "delay" (bukan "digital").

Jika Anda tahu bahwa setengah bidang kiri dari kompleks $s$ -plane memetakan ke wilayah di dalam lingkaran satuan kompleks $z$ pesawat (yaitu $|z|<1$ ), dan $j\omega$ -aksi memetakan ke lingkaran unit $|z|=1$ , maka hampir semua yang Anda ketahui tentang salah satu dari dua domain akan dengan mudah terbawa ke domain lain.

Satu hal yang sangat membantu saya memahami kutub dan nol adalah memvisualisasikannya sebagai permukaan amplitudo. Beberapa plot ini dapat ditemukan di A Filter Primer . Beberapa catatan:

• Mungkin lebih mudah untuk mempelajari bidang S analog terlebih dahulu, dan setelah Anda memahaminya, kemudian belajar bagaimana pesawat Z digital bekerja.
• Nol adalah titik di mana keuntungan dari fungsi transfer adalah nol.
• Tiang adalah titik di mana gain dari fungsi transfer tidak terbatas.
• Seringkali ada nol atau kutub yang tak terbatas, yang tidak selalu termasuk dalam deskripsi fungsi transfer, tetapi diperlukan untuk memahaminya.
• Respons frekuensi di bidang S terjadi hanya sepanjang sumbu jω.
  • Asalnya adalah 0 Hz, atau DC, dan frekuensi cutoff filter meningkat secara radial dari asalnya. Meletakkan kutub di titik mana saja di sepanjang lingkaran pada jarak tertentu dari titik asal akan menghasilkan frekuensi cutoff yang sama.
  • Untuk meningkatkan frekuensi cutoff filter, pindahkan kutub secara radial ke arah luar.
  • Untuk meningkatkan Q dari filter biquad, gerakkan kutub di sepanjang lingkaran menuju sumbu jω, yang menjaga frekuensi cutoff konstan, tetapi meningkatkan efek kutub terhadap respons frekuensi, menjadikannya lebih "berpuncak".
  • 
• Jika nol muncul pada sumbu jω, maka respons frekuensi akan turun ke nol pada frekuensi tersebut; jika Anda memasukkan gelombang sinus pada frekuensi itu, output akan menjadi 0.
• Jika sebuah kutub muncul pada sumbu jω, maka respons impuls adalah osilator; setiap dorongan akan menyebabkannya berdering selamanya pada frekuensi itu. Impuls memiliki energi terbatas, tetapi respons filter memiliki energi tak terbatas, sehingga memiliki gain tak terbatas.

Contoh sederhana adalah integrator H (s) = 1 / s:

• Fungsi ini sama dengan 0 ketika s adalah tak terhingga, sehingga memiliki nol pada tak terhingga.
• Fungsi ini sama dengan tak terhingga ketika s adalah nol, sehingga memiliki kutub di nol.

Dengan kata lain, ia memiliki gain tak terbatas di DC (respons langkah integrator adalah peningkatan selamanya), dan gain berkurang seiring frekuensi meningkat:

Memindahkan kutub dari titik asalnya, sepanjang sumbu imajiner ke sisi kiri bidang S, menghasilkan penguatan pada 0 Hz pada sumbu jw hingga, dan sekarang Anda memiliki filter low-pass:

Saya tidak akan memberi tahu pemetaan penuh dari kutub (1) / nol (0) ke respons frekuensi tapi saya pikir saya bisa menjelaskan hubungan antara frekuensi dan nol / tanggapan tak terbatas, mengapa Anda memiliki tanggapan tak terbatas / nol pada yaitu apa e - j w hubungannya dengan z .$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

Bentuk umum sistem linear adalah yang dapat dipecahkan dalam z-dari saat Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z +

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

Pada akhirnya, rangkaian produk binomial dapat dianggap sebagai serangkaian sistem, di mana output pertama, adalah input untuk yang lain.$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

$H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$$b_0=b_1=1$ for simplicity. I mean that $y_n = x_n + x_{n-1}$.

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ The response is going to be $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ that is, $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.