Bagaimana kutub terkait dengan respons frekuensi

16

Saya baru-baru ini jatuh ke dalam kesalahan , mengingat kutub s = 1 karena ada respon tak terbatas pada frekuensi 1. Namun, respons hanya 1. Sekarang, dapatkah Anda menurunkan respons frekuensi, mengingat kutub?

Kedua, teori mengatakan bahwa suatu sistem stabil ketika kutub berada di bidang kiri dan, dengan demikian, membusuk dalam waktu. Tapi tunggu. Apakah "kutub" berarti respons tanpa batas - pertumbuhan waktu?

Akhirnya, apakah itu pertanyaan yang tepat di DSP? IMO, D adalah singkatan dari digital sedangkan s-domain adalah analog. Saya tidak menemukan tag transformasi s-plane atau Laplace untuk melabeli posting saya.

Perbarui Terima kasih atas jawabannya. Tampaknya saya sudah mendapatkannya kecuali satu hal kecil tapi mendasar - hubungan kutub (dan nol) dengan frekuensi. Pada dasarnya, mengapa nilai eigen (atau, bagaimana Anda memanggil s operator / variabel) terkait dengan frekuensi? Entah bagaimana itu harus dikaitkan dengan pertumbuhan eksponensial dan transformasi Laplace. Saya cukup mengerti bahwa kutub kebetulan merupakan nilai eigen (terutama untuk pengulangan diskrit). Tapi, bagaimana ini terkait dengan frekuensi?

Val
sumber
1
Ini "Signal processing stack exchange", bukan "DSP stack exchange". :)
endolith
4
Yap, seperti yang disebutkan oleh endoith, pemrosesan sinyal analog ada pada topik. DSP.SE adalah nama yang tepat untuk peluncuran awal, tetapi sinyal.stackexchange.com sekarang juga terhubung di sini.
datageist
Apa sebenarnya yang Anda maksudkan ketika Anda meminta hubungan antara Polandia dan Frekuensi?
Sudarsan
1
Jelas, itu adalah bagaimana dan mengapa kutub menentukan respons frekuensi.
Val
Jawabannya sudah diberikan saya kira. Respons frekuensi adalah Besarnya respons sistem saat Anda bergerak di sepanjang sumbu jω . Jika Anda telah memfaktorkan Fungsi Transfer Sistem H(s) ke dalam Produk 1/(spi) dan (szi) , yang perlu Anda lakukan adalah menemukan besarnya pada s=jω untuk Transfer Fungsi dan ini jelas ditentukan oleh Lokasi Polandia dan Nol karena mereka akan menjadi orang-orang yang muncul dalam respons sistem faktor.
Sudarsan

Jawaban:

12

Saya pikir sebenarnya ada 3 pertanyaan dalam pertanyaan Anda:

T1: Dapatkah saya memperoleh respons frekuensi berdasarkan kutub sistem (linear time-invariant)?

Ya, Anda bisa, hingga konstan. Jika s,saya , saya=1,...,N, adalah kutub dari fungsi transfer, Anda dapat menulis fungsi transfer sebagai

(1)H(s)=k(ss,1)(ss,2)(ss,N)

Perhatikan bahwa s adalah variabel kompleks s=σ+jω , dan variabel frekuensi ω sesuai dengan sumbu imajiner bidang- s kompleks . Sekarang kita perlu mendapatkan respons frekuensi dari fungsi transfer. Untuk sistem yang stabil, ini hanya dapat dilakukan dengan mengevaluasi fungsi transfer H(s) untuk s=jω . Jadi Anda ganti s dengan jω di (1) dan Anda selesai. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa ini hanya berlaku untuk sistem stabil (yaitu jika wilayah konvergensi H(s) termasukjω -axis).

T2: Bagaimana sistem yang stabil memiliki kutub?

Seperti yang Anda sudah tahu, kausal dan stabil sistem, semua kutub harus terletak di babak-pesawat sebelah kiri kompleks s -pesawat. Memang, nilai fungsi transfer H(s) akan menjadi tak terhingga pada kutub s=s , tetapi respons frekuensi akan baik-baik saja, karena jika semua kutub berada di setengah bidang kiri, tidak ada kutub pada jω -axis (atau di sebelah kanannya). Jika Anda melihat dalam waktu-domain, maka setiap (sederhana) pole memiliki kontribusi est untuk respon impuls sistem. Jika kutub terletak di setengah bidang kiri, ini berarti bahwa s=σ+jω memiliki bagian nyata negatifσ<0 . Begitu

est=eσejω

adalah fungsi teredam secara eksponensial dan tidak tumbuh tetapi meluruh, karena σ<0 .

T3: Apakah pertanyaan ini ada di sini?

Anggota masyarakat lainnya harus menilai apakah pertanyaan ini ada di sini. Saya pikir itu benar. Ini jelas tidak berhubungan langsung dengan DSP murni, tetapi insinyur DSP sangat sering juga harus berurusan dengan sinyal dan sistem analog sebelum konversi AD, sehingga mereka juga tahu tentang teori sistem berkelanjutan. Kedua, hampir semua orang DSP (setidaknya yang memiliki pelatihan tradisional) mendapatkan cukup banyak paparan teori umum dan teori sistem, termasuk sistem waktu kontinyu dan waktu diskrit.

Omong-omong, untuk sistem waktu diskrit, Anda mendapatkan transformasi- Z alih-alih transformasi Laplace, dan variabel kompleks Anda sekarang disebut z alih-alih s . Variabel D yang telah Anda sebutkan didefinisikan sebagai D=z1 dan terutama digunakan dalam literatur pengkodean. Menurut definisinya, ini menunjukkan elemen delay, jadi D berarti "delay" (bukan "digital").

Jika Anda tahu bahwa setengah bidang kiri dari kompleks s -plane memetakan ke wilayah di dalam lingkaran satuan kompleks z pesawat (yaitu |z|<1 ), dan jω -aksi memetakan ke lingkaran unit |z|=1 , maka hampir semua yang Anda ketahui tentang salah satu dari dua domain akan dengan mudah terbawa ke domain lain.

Matt L.
sumber
Saya pikir respons frekuensi melibatkan konjugasi kompleks selain s dalam H (s) untuk s = jω.
Val
16

Satu hal yang sangat membantu saya memahami kutub dan nol adalah memvisualisasikannya sebagai permukaan amplitudo. Beberapa plot ini dapat ditemukan di A Filter Primer . Beberapa catatan:

  • Mungkin lebih mudah untuk mempelajari bidang S analog terlebih dahulu, dan setelah Anda memahaminya, kemudian belajar bagaimana pesawat Z digital bekerja.
  • Nol adalah titik di mana keuntungan dari fungsi transfer adalah nol.
  • Tiang adalah titik di mana gain dari fungsi transfer tidak terbatas.
  • Seringkali ada nol atau kutub yang tak terbatas, yang tidak selalu termasuk dalam deskripsi fungsi transfer, tetapi diperlukan untuk memahaminya.
  • Respons frekuensi di bidang S terjadi hanya sepanjang sumbu jω.
    • Asalnya adalah 0 Hz, atau DC, dan frekuensi cutoff filter meningkat secara radial dari asalnya. Meletakkan kutub di titik mana saja di sepanjang lingkaran pada jarak tertentu dari titik asal akan menghasilkan frekuensi cutoff yang sama.
    • Untuk meningkatkan frekuensi cutoff filter, pindahkan kutub secara radial ke arah luar.
    • Untuk meningkatkan Q dari filter biquad, gerakkan kutub di sepanjang lingkaran menuju sumbu jω, yang menjaga frekuensi cutoff konstan, tetapi meningkatkan efek kutub terhadap respons frekuensi, menjadikannya lebih "berpuncak".
    • Memindahkan kutub di sepanjang lingkaran membuat frekuensi cutoff konstan tetapi berubah Q
  • Jika nol muncul pada sumbu jω, maka respons frekuensi akan turun ke nol pada frekuensi tersebut; jika Anda memasukkan gelombang sinus pada frekuensi itu, output akan menjadi 0.
  • Jika sebuah kutub muncul pada sumbu jω, maka respons impuls adalah osilator; setiap dorongan akan menyebabkannya berdering selamanya pada frekuensi itu. Impuls memiliki energi terbatas, tetapi respons filter memiliki energi tak terbatas, sehingga memiliki gain tak terbatas.

Contoh sederhana adalah integrator H (s) = 1 / s:

  • Fungsi ini sama dengan 0 ketika s adalah tak terhingga, sehingga memiliki nol pada tak terhingga.
  • Fungsi ini sama dengan tak terhingga ketika s adalah nol, sehingga memiliki kutub di nol.

Dengan kata lain, ia memiliki gain tak terbatas di DC (respons langkah integrator adalah peningkatan selamanya), dan gain berkurang seiring frekuensi meningkat:

Bode plot integrator

Memindahkan kutub dari titik asalnya, sepanjang sumbu imajiner ke sisi kiri bidang S, menghasilkan penguatan pada 0 Hz pada sumbu jw hingga, dan sekarang Anda memiliki filter low-pass:

masukkan deskripsi gambar di sini

endolith
sumber
+1, jawaban yang bagus. Tapi saya tidak mengerti apa yang Anda maksud dengan "Setiap titik di sepanjang lingkaran pada jarak tertentu dari titik asal memiliki frekuensi yang sama." Kurva frekuensi konstan dalam -plane adalah garis sejajar dengan sumbu nyata. Untuk lingkaran dengan titik awal di s = 0 Anda mendapatkan σ 2 + ω 2 = c o n s t , di mana s = σ + j ω . ss=0σ2+ω2=consts=σ+jω
Matt L.
Dia tampaknya membingungkan pesawat-s dengan pesawat-z
Val
@ MatL .: Hmmm. Saya sedang berpikir tentang kutub dari filter Butterworth orde-N yang berada di sepanjang lingkaran yang sama dari asalnya, misalnya, atau kutub biquad yang bergerak di sepanjang lingkaran yang sama jauhnya dari asalnya saat Anda menyesuaikan Q filter sambil menjaga Q konstanta frekuensi, atau mengubah cutoff filter dengan menggerakkan kutub lebih dekat ke atau menjauh dari asal dalam arah radial, atau mengubah lowpass ke highpass dengan membalik kutub tentang lingkaran unit. Bagaimana saya harus menulis ulang ini?
endolith
@ Val: frekuensi cutoff . Saya sudah mengedit posting untuk memperbaikinya.
endolith
6
Val, Tidak perlu untuk komentar snarky douchy ke @endolith.
Spacey
1

Saya tidak akan memberi tahu pemetaan penuh dari kutub (1) / nol (0) ke respons frekuensi tapi saya pikir saya bisa menjelaskan hubungan antara frekuensi dan nol / tanggapan tak terbatas, mengapa Anda memiliki tanggapan tak terbatas / nol pada yaitu apa e - j w hubungannya dengan z .ejw=zzero/pole,ejwz

Bentuk umum sistem linear adalah yang dapat dipecahkan dalam z-dari saat Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z + b

yn+a1yn1+a2yn2+=b0xn+b1xn1+b2xn2+,
Y(z)=(b0+b1z+b2z2+)(1+a1z+a2z2+)X(z)=H(z)X(z)=(1z0z)(1z1z)(1p0z)(1p1z)X(z).

Pada akhirnya, rangkaian produk binomial dapat dianggap sebagai serangkaian sistem, di mana output pertama, adalah input untuk yang lain.(1z0z)11p0z

H(z)X(z)Y(z)=(1z0z)Χ(z),yn=b0xn+b1xn1.b0=b1=1 for simplicity. I mean that yn=xn+xn1.

xn=ejwnz1+ejwz+e2jwz2+=1/(1ejw)=X(z).
The response is going to be
yn=xn+xn1|xn=ejwn=ejwn+ejw(n1)=ejwn(1+ejw)
that is, 1+ejw is the transfer function or Y(z)=(1+z)(1ejwz)=(1+z)X(z).

Please note that 1+z basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single z stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, H(jw)=1+ejw=ejw/2(ejw/2+ejw/2)=ejw/22cos(w/2). Cosine makes it to behave like low-pass filter

{w=0H(j0)=12cos(0)=2w=πH(jπ)=ejπ/22cos(π/2)=0

It is also a good lesson that you get 2cosα=eiα+eiα because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is yn=xnxn|xn=ejwn=ejwn(1ejw) has transfer function of H(jw)=(1ejw)=ejw/2(ejw/2ejw/2)=ejw2sin(w/2), which has zero at w=0 since sin(0)=0 but it can be found from the frequency response

H(jw)=1ejw=0ejw=1=e0w=0.

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function H(z)=1±z and frequency response H(jw)=1±ejw. That is, z somehow corresponds to ejw, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and yn=xn±xn1=0 means that next sample is ± previous one to get zero response, we need to have 1±z=0 in front of X(z). But, the frequency domain basis functions ejwn evolve by multiplying current value ejw(n1) with ejw every clock. Therefore, we have ejwn(1±ejw)=0 as condition for constant zero output. The latter 1±ejw matches perfectly with zero transfer function 1±z=0.

In general, single-zero LTI is given by yn=b0xn+b1xn1 or

Y(z)=(b0+b1z)X(z)=(b0+b1z)(1+x1z+x2z2+)=b0+(b0x1+b1x0)z+(b0x2+b1x1)z2+.
When b0+b1z=0, i.e. when z=b0/b1, whereas frequency response is,
yn(xn=ejwn)=b0ejwn+b1ejw(n1)=ejwn(b0+b1ejw)=ejwnb0(1z0ejw),

which goes to zero when 1z0ejw=0 or ejw=1/z0, which matches the computation for z if z=ejw. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio 1/z0=ejw by choosing appropriate frequency w, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency w so that zero z=1/z0=ejw.

Now, what about the poles? Let's single out a single pole a. The system has a from of yn=ayn1+(xn+xn1+), under assumption y0=0, has z-transform of Y(z)=X(z)/(1az).

The feedback a is equivalent to infinite impulse response 1,a,a2,z1+az+a2z2+=1/(1az). It says that response is infinite when z=1/a. What does it mean if we apply the test signal

xn=ejwnzX(z)=1+ejwz+e2jwz2+=1/(1ejwz)
to our system? We'll get Y(z)=11az11ejwz, or
yn=ejwn+aejw(n1)+a2ejw(n2)+=ejwn(1+aejw+a2e2jw+)=ejwn1aejw.
That is, frequency response is 1/(1aejw), which goes to infinity when ejw=1/a, the same as zpole above, ejw=zpole=1/a. But again, you can not always arrive at the pole 1/a adjusting the frequency w alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like (kejw)n.

That is, zeroes or poles of the transfer function H(z) happen to match the zeroes and poles of frequency response H(jw), which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, ejwn/ejw(n1)=ejw=1/zzero in case of zeroes. The fact that ejwn scales exponentially over time, along with the system with feedback a, also seems to be the key for matching between ejw and zpoles. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of ejwn, the basis function must also have adjustable amplitude factor kn.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.

Valentin Tihomirov
sumber