Apakah ada alternatif untuk transformasi bilinear?

Saat mendesain filter digital berdasarkan filter analog, kami biasanya menggunakan transformasi bilinear . Untuk memperkirakan fungsi transfer diskrit dari fungsi transfer analog (kontinu) A ( s ) yang kami gantikan$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

dimana adalah periode sampling. Atau, untuk mendekati sebuah fungsi transfer terus menerus A a ( s ) dari diskrit fungsi transfer D ( z ) kita pengganti$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Adakah metode alternatif untuk melakukan konversi semacam itu? Apakah ada perkiraan yang lebih baik?

Filter analog stabil jika kutub berada di bagian kiri bidang-s (gambar di sebelah kiri) dan filter digital stabil jika kutub berada di dalam lingkaran unit (gambar di kanan). Jadi secara matematis semua yang diperlukan untuk mengkonversi dari analog ke digital adalah pemetaan (konformal?) Dari setengah ruang ke unit disk dan sumbu ke lingkaran unit | z | = 1 . Setiap transformasi yang melakukan ini adalah kandidat yang memungkinkan untuk menjadi alternatif bagi transformasi bilateral.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Namun, ada perbedaan utama di antara keduanya.

Metode impuls invarian:

Dalam metode ini, Anda memperluas fungsi transfer analog sebagai fraksi parsial (tidak dalam transformasi Z cocok seperti yang disebutkan oleh Peter ) sebagai

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

Alasan mengapa gagal juga cukup jelas. Jika Anda memiliki polinomial dalam pembilang dengan derajat yang sama seperti pada penyebutnya, Anda akan memiliki istilah konstanta berdiri bebas, yang pada transformasi terbalik, akan memberikan fungsi delta yang tidak dapat disampel.

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Z-transform yang cocok

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Anda dapat dengan mudah melihat batasan kedua metode ini. Impuls invarian hanya berlaku jika filter Anda low pass dan metode z-transform yang cocok berlaku untuk bandstop dan filter bandpass (dan high pass hingga frekuensi Nyquist). Mereka juga dibatasi dalam praktik oleh laju sampling (setelah semua, Anda hanya bisa naik ke titik tertentu) dan menderita efek aliasing.

Transformasi bilinear sejauh ini merupakan metode yang paling umum digunakan dalam praktek dan dua di atas agak lebih untuk kepentingan akademik. Adapun konversi kembali ke analog, saya minta maaf tapi saya tidak tahu dan tidak bisa banyak membantu di sana karena saya jarang menggunakan filter analog.

$s$$z$

Beberapa contoh adalah:

Z-Transform yang Cocok

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Dan konversi setiap bagian dari ekspansi fraksi parsial dilakukan secara langsung menggunakan:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Aturan Simpson

Salah satu interpretasi dari transformasi bilinear adalah bahwa itu adalah cara transformasi dari waktu kontinu ke waktu diskrit dengan perkiraan integrasi menggunakan Aturan Trapesium .

Teknik yang lebih akurat untuk perkiraan integrasi menggunakan Aturan Simpson. Jika perkiraan ini digunakan maka pemetaan yang dihasilkan adalah:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$