Fourier Transform Identities

Kami tahu di bawah ini,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Sekarang, jika untuk beberapa sinyal

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Lalu, apakah aman untuk menganggap yang berikut?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

atau apakah itu tergantung pada jenis sinyal?

$X(f)$

Secara umum: jika itu nyata dalam satu domain, itu konjugat simetris di yang lain.

Ya, jika ada. (2) dan (3) tahan untuk semua "jenis sinyal" (yang mereka lakukan), maka (5) harus tahan.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Jawaban oleh @Deve dan @Hilmar secara teknis sempurna. Saya ingin memberikan beberapa wawasan tambahan, dengan beberapa pertanyaan.

Pertama, apakah Anda tahu sinyal memuaskan identitas waktu-terbalik / konjugasi ini :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Ide jelas pertama adalah memilih di antara sinyal nyata dan simetris. Yang alami dalam kerangka Fourier adalah cosinus .

Sekarang, mari kita menjadi sedikit lebih kompleks (pun intented).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(disebut kompleks eksponensial atau cisoid ) juga merupakan solusi . Dan transformasi Fourier-nya (sebagai fungsi umum) memang nyata (meskipun entah bagaimana "tak terbatas"). Lebih jauh, setiap kombinasi linear cisoids dengan koefisien nyata akan melakukannya.

Pertanyaan Anda menggambarkan betapa dualitas Fourier penting, dan bagaimana menggunakannya dapat menyederhanakan beberapa masalah. Seperti yang terlihat di SYMMETRY OF THE DTFT FOR SIGNALS NYATA :

$x(n)$

$x$$t$$f$

Ini juga disebut pembuka botol Heyser / spiral .