Turunkan transformasi Fourier dari cosinus dan sinus

10

Dalam jawaban ini , Jim Clay menulis:

... gunakan fakta bahwa ...F{cos(x)}=δ(w1)+δ(w+1)2

Ekspresi di atas tidak terlalu berbeda dari .F{cos(2πf0t)}=12(δ(ff0)+δ(f+f0))

Saya telah mencoba untuk mendapatkan ekspresi selanjutnya dengan menggunakan definisi standar dari transformasi Fourier tetapi yang akhirnya saya dapatkan adalah ekspresi yang sangat berbeda dari apa yang tampaknya jawabannya.X(f)=+x(t)ej2πftdt

Ini pekerjaan saya:

x(t)=cos(2πf0t)F{x(t)}=+cos(2πf0t)ej2πftdt=+12(ej2πf0t+ej2πf0t)ej2πftdt=12+(ej2πf0tej2πft+ej2πf0tej2πft)dt=12+(ej2πt(f0+f)+ej2πt(ff0))dt=12(+(ej2πt(f0+f))dt++(ej2πt(ff0)))dt

Di sinilah aku terjebak.

pyler
sumber

Jawaban:

16

Pekerjaan Anda OK kecuali untuk masalah yang Transformasi Fourier dari tidak ada dalam arti biasa dari fungsi dari , dan kita harus memperluas gagasan untuk memasukkan apa yang disebut distribusi, atau impuls, atau delta Dirac, atau (seperti yang kita para insinyur tidak akan lakukan, banyak yang membuat jijik matematikawan) fungsi delta . Baca tentang kondisi yang harus dipenuhi agar transformasi Fourier dari sinyal ada (dalam arti biasa) dan Anda akan melihat bahwa tidak memiliki Transformasi Fourier dalam arti biasa.cos(2πf0t)fX(f)x(t)cos(2πf0t)

Beralih ke pertanyaan spesifik Anda, setelah Anda memahami bahwa impuls didefinisikan hanya dalam hal bagaimana mereka berperilaku sebagai integand dalam integral, yaitu, untuk , asalkan kontinu pada , maka lebih mudah untuk menyimpulkan transformasi Fourier dari dengan merenungkan fakta bahwa dan karenanya adalah kebalikannya Transformasi Fourier daria<x0<b

abδ(xx0)g(x)dx=g(x0)
g(x)x0
cos(2πf0t)=12[ej2πf0t+ej2πf0t]
δ(ff0)ej2πftdf=ej2πf0t
cos(2πf0t)12[δ(ff0)+δ(f+f0)] .
Dilip Sarwate
sumber
4

Kemudian gunakan saja tabel transformasi pasangan Fourier untuk melihat bahwa , dan substitusi variabel ( dan ), untuk mendapatkan yang Anda butuhkan.δ(t)1f1=f+f0f2=ff0

Peter K.
sumber
3
Yang tentu saja menimbulkan pertanyaan tentang bagaimana orang yang menuliskan tabel muncul dengan jawaban yang ada di meja.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate :-) Sekarang Anda mengajukan pertanyaan yang jauh lebih sulit. :-)
Peter K.
1
Lihat jawaban saya untuk versi jawaban atas pertanyaan yang jauh lebih sulit yang mungkin bisa dihimpun di stackexchange ini jika bukan pada math.SE!
Dilip Sarwate
@DilipSarwate: Anda sudah mendapatkan +1 saya. Terima kasih, jawaban yang bagus. Setuju dengan matematika. Para pria SE akan terkejut. Baiklah, kami insinyur. :-)
Peter K.