Apakah kernel Gaussian diskrit merupakan fungsi eigen dari DFT?

8

Jadi, fungsi Gaussian adalah fungsi eigen dari transformasi Fourier karena ia berubah menjadi dirinya sendiri, bukan?

Tapi ini tidak benar untuk Gaussian sampel di DFT karena ekor fungsi terpotong, kan?

Wikipedia menggambarkan kernel Gaussian diskret di sini dan di sini , yang berbeda dari Gaussian yang diambil secara terpisah :

mitra diskrit dari Gaussian kontinu dalam hal ini adalah solusi untuk persamaan difusi diskrit (ruang diskrit, waktu kontinu), seperti halnya Gaussian kontinu adalah solusi untuk persamaan difusi kontinu

Apakah itu berarti DFT juga bertransformasi menjadi dirinya sendiri? Jika tidak, apakah ada fungsi mirip Gaussian yang serupa?

fourier-transform dft gaussian window-functions endolit
sumber

Jawaban:

6

Karena DFT dapat direpresentasikan dengan perkalian dengan matriks Fourier, pertanyaan Anda setara dengan menanyakan apa vektor eigen dari matriks Fourier.

Sebenarnya, Wikipedia memberikan jawabannya ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

Namun, karena nilai eigen (1,-1,saya,-saya) tidak sederhana, vektor eigen tidak unik (yaitu kombinasi linear juga vektor eigen). Juga tidak ada formula tertutup sederhana.

Satu formula untuk vektor eigen yang dekat dengan apa yang Anda minta disediakan oleh Wikipedia

Fm=∑k=-∞∞exp⁡(-π⋅(m+N⋅k)2N)m=0,...,N-1

Jadi kesimpulannya, fungsi Gaussian itu sendiri bukan vektor eigen, tetapi jumlah yang tak terbatas dari Gaussians. Jumlah tak terbatas mungkin dapat diartikan sebagai ekuivalen dengan diskritisasi frekuensi dan domain waktu ketika kita beralih dari FT ke DFT. Jadi tidak sesederhana itu, seperti hanya memotong Gaussian diskrit.

Andreas H.
sumber
1
Bukankah jumlah gaussians yang tak terbatas masih berupa gaussian?
TheGrapeBeyond
1
Tidak, konvolusi Gaussians masih Gaussian. Jumlahnya adalah Gaussian hanya jika mereka memiliki posisi dan lebar yang sama. Fungsi ini di sini adalah satu periode kereta pulsa Gaussian diskrit. Jadi itu bahkan tidak terlihat seperti Gaussian.
Andreas H.
Ah, begitu. Dengan kata lain jumlah ini pada dasarnya adalah kereta Gaussian yang terdiri dari Gaussians dengan varian yang sama tetapi cara yang berbeda?
TheGrapeBeyond
persis. Berarti diberi jarak dengan tepat N, panjang DFT.
Andreas H.
Ah, sangat menarik. Satu hal terakhir, ini adalah vektor panjang tak terbatas, yang berarti bahwa matriks DFT juga panjangnya tidak terbatas, bukan?
TheGrapeBeyond