Semua orang mendiskusikan transformasi Fourier ketika mendiskusikan pemrosesan sinyal. Mengapa pemrosesan sinyal sangat penting dan apa yang kami informasikan tentang sinyal?
Apakah ini hanya berlaku untuk pemrosesan sinyal digital atau apakah berlaku untuk sinyal analog juga?
fourier-transform
jcolebrand
sumber
sumber
Jawaban:
Ini adalah pertanyaan yang cukup luas dan memang sulit untuk menunjukkan mengapa transformasi Fourier penting dalam pemrosesan sinyal. Jawaban yang paling sederhana dan bisa dilambaikan dengan tangan yang bisa diberikan adalah bahwa itu adalah alat matematika yang sangat kuat yang memungkinkan Anda untuk melihat sinyal Anda di domain yang berbeda, di mana beberapa masalah sulit menjadi sangat mudah untuk dianalisis.
Keberadaannya di hampir setiap bidang teknik dan ilmu fisika, semuanya karena berbagai alasan, membuat semakin sulit untuk mempersempit suatu alasan. Saya berharap bahwa melihat beberapa sifat-sifatnya yang menyebabkan adopsi yang meluas bersama dengan beberapa contoh praktis dan sedikit sejarah dapat membantu seseorang untuk memahami pentingnya.
Sejarah:
Untuk memahami pentingnya transformasi Fourier, penting untuk mundur sedikit dan menghargai kekuatan seri Fourier yang diajukan oleh Joseph Fourier. Dalam sebuah shell-nut, setiap fungsi periodik dapat diintegrasikan pada domain D = [ - π , π ] dapat ditulis sebagai jumlah tak terbatas dari sinus dan cosinus sebagaig( x ) D =[-π, π]
τ k = 1
di mana . Gagasan bahwa suatu fungsi dapat dipecah menjadi frekuensi konstituennya (yaitu, menjadi sinus dan cosinus dari semua frekuensi) adalah yang kuat dan membentuk tulang punggung transformasi Fourier.eıθ=cos(θ)+ȷsin(θ)
Transformasi Fourier:
Transformasi Fourier dapat dilihat sebagai perpanjangan dari seri Fourier di atas untuk fungsi non-periodik. Untuk kelengkapan dan kejelasan, saya akan mendefinisikan transformasi Fourier di sini. Jika adalah sinyal kontinu, dapat diintegrasikan, maka transformasi Fouriernya, X ( f ) diberikan olehx(t) X(f)
dan transformasi terbalik diberikan oleh
Pentingnya pemrosesan sinyal:
Pertama dan terpenting, transformasi Fourier dari sinyal memberi tahu Anda frekuensi apa yang ada dalam sinyal Anda dan dalam proporsi apa .
Terlepas dari beberapa sifat dasar yang sangat berguna yang membuat matematika terlibat sederhana, beberapa alasan lain mengapa ia memiliki kepentingan luas dalam pemrosesan sinyal adalah:
Konvolusi dalam domain waktu sama dengan perkalian dalam domain frekuensi, yaitu, diberi dua sinyal dan y ( t ) , maka jikax(t) y(t)
mana ⋆ menunjukkan konvolusi, maka transformasi Fourier dari z ( t ) hanyalah
Untuk sinyal diskrit, dengan pengembangan algoritma FFT yang efisien, hampir selalu, lebih cepat untuk mengimplementasikan operasi konvolusi dalam domain frekuensi daripada dalam domain waktu.
Dengan dapat membagi sinyal menjadi frekuensi konstituennya, seseorang dapat dengan mudah memblokir frekuensi tertentu secara selektif dengan membatalkan kontribusi mereka.
Sinyal bergeser (tertunda) dalam domain waktu bermanifestasi sebagai perubahan fase dalam domain frekuensi. Meskipun ini termasuk dalam kategori properti dasar, ini adalah properti yang banyak digunakan dalam praktik, terutama dalam aplikasi pencitraan dan tomografi,
Derivatif sinyal (n th derivatif juga) dapat dengan mudah dihitung (lihat 106) menggunakan transformasi Fourier.
Pemrosesan sinyal digital (DSP) vs. Pemrosesan sinyal analog (ASP)
Teori transformasi Fourier dapat diterapkan terlepas dari apakah sinyalnya kontinu atau diskrit, asalkan "bagus" dan benar-benar dapat diintegrasikan. Jadi ya, ASP menggunakan transformasi Fourier selama sinyal memenuhi kriteria ini. Namun, mungkin lebih umum untuk berbicara tentang transformasi Laplace, yang merupakan transformasi Fourier umum, di ASP. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai
Keuntungannya adalah bahwa seseorang tidak harus terbatas pada "sinyal yang bagus" seperti pada transformasi Fourier, tetapi transformasi hanya valid dalam wilayah konvergensi tertentu. Hal ini banyak digunakan dalam mempelajari / menganalisis / merancang sirkuit LC / RC / LCR, yang pada gilirannya digunakan dalam radio / gitar listrik, pedal wah-wah, dll.
Ini hampir semua yang dapat saya pikirkan saat ini, tetapi perlu dicatat bahwa tidak ada jumlah tulisan / penjelasan yang dapat sepenuhnya menangkap pentingnya transformasi Fourier dalam pemrosesan sinyal dan dalam sains / teknik
sumber
Jawaban hebat Lorem Ipsum melewatkan satu hal: Transformasi Fourier mengurai sinyal menjadi eksponensial kompleks konstituen:
dan eksponensial kompleks adalah fungsi eigen untuk sistem linear, waktu invarian .
Jadi transformasi Fourier adalah alat yang berguna untuk menganalisis sistem linear, waktu-invarian.
sumber
@
dan beberapa tidak bisa? Di mana pilihan untuk itu?), Sepertinya seseorang membukanya. Terima kasih.Alasan lain:
Ini cepat (misalnya berguna untuk konvolusi), karena kompleksitas waktu linearitmiknya (khususnya, FFT ).
Saya berpendapat bahwa, jika ini tidak terjadi, kami mungkin akan melakukan lebih banyak dalam domain waktu, dan jauh lebih sedikit dalam domain Fourier.
Sunting: Karena orang-orang meminta saya untuk menulis mengapa FFT cepat ...
Itu karena secara cerdik menghindari melakukan pekerjaan ekstra.
Namun, kita dapat membuat pengamatan yang tampaknya biasa saja: untuk melipatgandakan dua polinomial, kita tidak perlu MEMILIKI koefisien . Sebaliknya, kita hanya dapat mengevaluasi polinomial pada (cukup) jumlah poin, melakukan pointwise perkalian dari nilai-nilai dievaluasi, dan kemudian interpolasi untuk mendapatkan kembali hasilnya.
Tetapi itu benar, jika kita melakukannya dengan benar! Mengevaluasi polinomial tunggal pada banyak titik sekaligus lebih cepat daripada mengevaluasinya pada titik-titik tersebut secara individual, jika kita mengevaluasi pada titik "benar" . Apa poin "benar"?
Kita dapat melakukan proses yang sangat mirip untuk melakukan interpolasi melalui titik-titik untuk mendapatkan kembali koefisien polinomial hasilnya, hanya dengan menggunakan akar kebalikan dari persatuan.
Dengan demikian kemampuan untuk menggunakan FFT untuk melakukan operasi yang khas (seperti penggandaan polinomial) jauh lebih cepat adalah apa yang membuatnya berguna, dan itulah sebabnya orang sekarang senang dengan penemuan baru MIT dari algoritma FFT Sparse .
sumber
EDIT: Sebenarnya, operator diferensial (dan integral) adalah operator LSIV, lihat di sini .
sumber
Beberapa jawaban lain di utas ini memiliki diskusi matematis yang bagus tentang definisi dan sifat-sifat transformasi Fourier; sebagai programmer audio, saya hanya ingin memberikan intuisi pribadi saya mengapa hal itu penting bagi saya.
Transformasi Fourier memungkinkan saya untuk menjawab pertanyaan tentang suara yang sulit atau tidak mungkin dijawab dengan metode lain. Itu membuat masalah sulit menjadi mudah.
Rekaman berisi satu set tiga not musik. Apa catatannya? Jika Anda meninggalkan rekaman sebagai satu set amplitudo dari waktu ke waktu, ini bukan masalah yang mudah. Jika Anda mengonversi rekaman ke satu set frekuensi dari waktu ke waktu, itu sangat mudah.
Saya ingin mengubah nada rekaman tanpa mengubah durasinya. Bagaimana saya melakukan ini? Itu mungkin, tetapi tidak mudah dilakukan, dengan hanya memanipulasi amplitudo sinyal input. Tetapi mudah jika Anda tahu frekuensi yang terdiri dari sinyal.
Apakah rekaman ini mengandung ucapan atau mengandung musik? Sangat sulit dilakukan hanya dengan menggunakan metode berbasis amplitudo. Tetapi ada solusi bagus yang menebak jawaban yang benar hampir sepanjang waktu berdasarkan transformasi Fourier dan keluarganya.
Hampir setiap pertanyaan yang ingin Anda tanyakan tentang rekaman audio digital menjadi lebih mudah dengan mengubah rekaman menggunakan versi diskrit dari transformasi Fourier.
Dalam praktiknya, setiap perangkat audio digital modern sangat bergantung pada fungsi yang sangat mirip dengan transformasi Fourier.
Sekali lagi, maafkan deskripsi yang sangat informal itu; ini hanyalah intuisi pribadi saya mengapa transformasi Fourier itu penting.
sumber
Orang lain telah memberikan jawaban yang bagus dan bermanfaat. Coba pikirkan beberapa sinyal: Anda hanya peduli frekuensi apa yang ada di dalamnya (dan fase mereka), bukan tentang domain waktu. Saya tidak tahu bahwa ini adalah jawaban final atau lengkap, tetapi hanya alasan lain mengapa transformasi Fourier bermanfaat.
Ketika Anda memiliki beberapa sinyal, itu bisa terdiri dari jumlah frekuensi yang tak terbatas (atau mendekati), tergantung pada laju sampling Anda. Tapi, bukan itu masalahnya: kita tahu bahwa sebagian besar sinyal memiliki frekuensi sesedikit mungkin, atau kita mengambil sampel pada tingkat yang cukup tinggi.
Jika kita tahu itu, mengapa kita tidak bisa menggunakannya? Itulah yang dilakukan bidang penginderaan terkompresi. Mereka tahu bahwa sinyal yang paling mungkin adalah yang memiliki kesalahan paling sedikit dan memiliki frekuensi paling sedikit. Jadi, mereka meminimalkan kesalahan keseluruhan relatif terhadap pengukuran kami serta besarnya transformasi Fourier.
Sinyal beberapa frekuensi sering memiliki transformasi Fourier minimal, atau sebagian besar nol (alias "jarang," seperti yang mereka katakan dalam penginderaan terkompresi). Sinyal satu frekuensi hanya memiliki fungsi delta sebagai transformasi, misalnya.
Kita dapat menggunakan definisi matematika formal juga.
Anda mungkin ingat bahwa Nyquist mengatakan bahwa Anda harus mengukur dua kali frekuensi tertinggi untuk mendapatkan representasi yang baik. Nah, itu dengan asumsi Anda memiliki frekuensi tak terbatas dalam sinyal Anda. Kita bisa melewati itu!
Bidang penginderaan terkompresi dapat merekonstruksi sinyal apa pun yang sebagian besar nol (atau jarang) di beberapa domain. Nah, itulah yang terjadi untuk transformasi Fourier.
sumber
Pentingnya transformasi Fourier terletak pada analisis sistem. Konstituen utama dari alam semesta kita adalah ruang hampa udara, dan ruang hampa udara adalah pembawa bidang yang linier dan tidak berubah-ubah secara mendasar: bidang-bidang berbeda bertumpukan dengan menambahkan vektornya masing-masing, dan terlepas dari kapan Anda mengulangi penerapan bidang-bidang tertentu, hasilnya akan sama .
Sebagai konsekuensinya, banyak sistem yang juga melibatkan materi fisik memiliki pendekatan yang baik yang berperilaku sebagai sistem linier, waktu-invarian.
Sistem LTI seperti itu dapat dijelaskan oleh "respons impuls" mereka, dan respons terhadap sinyal berdistribusi waktu dijelaskan dengan menggabungkan sinyal dengan respons impuls.
Konvolusi adalah operasi komutatif dan asosiatif, tetapi juga cukup mahal secara komputasional dan konseptual. Namun, konvolusi fungsi dipetakan oleh Fourier transform menjadi multiplikasi piecewise.
Itu berarti bahwa sifat-sifat sistem invarian waktu linier dan kombinasinya jauh lebih baik dijelaskan dan dimanipulasi setelah transformasi Fourier.
Akibatnya, hal-hal seperti "respons frekuensi" cukup khas untuk menggambarkan perilaku banyak sistem dan menjadi berguna untuk mengkarakterisasi mereka.
Transformasi Fourier cepat berada di kelas "hampir, tetapi tidak sepenuhnya, tidak sepenuhnya berbeda dengan transformasi Fourier" karena hasilnya tidak benar-benar dapat ditafsirkan sebagai transformasi Fourier meskipun dengan tegas diarahkan dalam teori mereka. Mereka berhubungan dengan transformasi Fourier sepenuhnya hanya ketika berbicara tentang sinyal sampel dengan periodisitas interval transformasi. Khususnya kriteria "periodisitas" hampir selalu tidak terpenuhi.
Ada beberapa teknik untuk mengatasinya, seperti penggunaan fungsi windowing yang tumpang tindih.
Namun FFT dapat digunakan untuk melakukan konvolusi waktu diskrit ketika melakukan hal-hal yang benar, dan apakah itu algoritma yang efisien, yang membuatnya berguna untuk banyak hal.
Seseorang dapat menggunakan algoritma FFT dasar juga untuk transformasi angka teoretik (yang bekerja di bidang angka diskrit daripada "real" nyata) untuk melakukan konvolusi cepat, seperti ketika mengalikan angka humongous atau polinomial. Dalam hal ini, "domain frekuensi" tidak dapat dibedakan dari white noise pada dasarnya input apa pun dan tidak memiliki interpretasi yang berguna sebelum Anda melakukan transformasi terbalik lagi.
sumber
relevansi fisika dari transformasi fourier adalah bahwa ia memberitahu amplitudo relatif dari frekuensi yang ada dalam sinyal. dapat didefinisikan untuk waktu diskrit dan sinyal waktu kontinu. Sinyal apa pun dapat direpresentasikan sebagai campuran dari banyak frekuensi harmonik. Fourier transform help dalam aplikasi filter, di mana kita hanya perlu rentang frekuensi tertentu maka pertama-tama kita perlu tahu apa amplitudo frekuensi yang terkandung dalam sinyal.
sumber