Perbedaan antara transformasi fourier waktu diskrit dan transformasi fourier diskrit

Saya telah membaca banyak artikel tentang DTFT dan DFT tetapi saya tidak dapat membedakan perbedaan antara keduanya kecuali beberapa hal yang terlihat seperti DTFT berjalan hingga tak terbatas sementara DFT hanya sampai N-1. Adakah yang bisa menjelaskan perbedaannya dan kapan menggunakan apa? Kata Wiki

DFT berbeda dari transformasi Fourier diskrit-waktu (DTFT) di mana urutan input dan output keduanya terbatas; oleh karena itu dikatakan sebagai analisis Fourier dari fungsi waktu-domain yang terbatas (atau periodik).

Apakah ini satu-satunya perbedaan?

Sunting: Artikel ini menjelaskan perbedaan dengan baik

Transformasi Fourier diskrit-waktu (DTFT) adalah transformasi Fourier (konvensional) dari sinyal diskrit-waktu. Outputnya kontinu dalam frekuensi dan berkala. Contoh: untuk menemukan spektrum versi sampel dari sinyal waktu kontinu x ( t ) DTFT dapat digunakan.$x(kT)$$x(t)$

Transformasi Fourier diskrit (DFT) dapat dilihat sebagai versi sampel (dalam domain frekuensi) dari output DTFT. Ini digunakan untuk menghitung spektrum frekuensi dari sinyal waktu diskrit dengan komputer, karena komputer hanya dapat menangani sejumlah nilai yang terbatas. Saya berpendapat bahwa output DFT terbatas. Ini juga berkala dan karena itu dapat dilanjutkan tanpa batas.

Singkatnya:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Properti matematika dari DFT adalah bahwa kedua input dan output periodik dengan panjang DFT . Artinya, meskipun vektor input ke DFT terbatas dalam praktiknya, hanya benar untuk mengatakan bahwa DFT adalah spektrum sampel jika input DFT dianggap periodik.$N$

baiklah, saya akan menjawab ini dengan argumen yang "lawan" untuk posisi kaku seperti nazi saya tentang DFT miliki.

pertama-tama, posisi kaku saya, seperti nazi : DFT dan Discrete Fourier Series adalah satu-dan-sama. DFT memetakan satu urutan infinite dan periodik, $x[n]$ dengan periode $N$ dalam domain "waktu" ke urutan infinite dan periodik lainnya, $X[k]$ , sekali lagi dengan periode $N$ , dalam domain "frekuensi". dan iDFT memetakannya kembali. dan mereka "injeksi" atau "tidak bisa dibalik" atau "satu-ke-satu".

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

itulah yang paling mendasar dari DFT. itu inheren hal periodik atau melingkar.

tetapi periodisitas menyangkal suka mengatakan ini tentang DFT. memang benar, itu tidak mengubah apa pun di atas.

jadi, misalkan Anda memiliki urutan panjang-terbatas $x[n]$ dengan panjang $N$ dan, alih-alih secara berkala memperpanjangnya (seperti yang dilakukan DFT secara inheren), Anda menambahkan urutan panjang-terbatas ini dengan nol tanpa batas di kiri dan kanan. begitu

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

sekarang, urutan tak terbatas yang berulang ini memiliki DTFT:

DTFT: X ( e j ω ) = + ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] e - j ω n

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$adalah Z-transform dari x [n]dievaluasi pada unit lingkaranz=ejωuntuk tak terhingga banyaknyanyatanilai-nilaiω. sekarang, jika Anda adalah untuk sampel yang DTFT X ($\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ di$N$sama spasi titik pada lingkaran satuan, dengan satu titik di$z=e^{j\omega}=1$, Anda akan mendapatkan

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

itulah tepatnya bagaimana DFT dan DTFT saling berhubungan. sampling DTFT pada interval yang seragam di "frekuensi" penyebab domain, dalam domain "waktu", asli urut x [ n ] diulang dan bergeser oleh semua kelipatan N dan tumpang tindih tambah. itulah yang menyebabkan pengambilan sampel seragam dalam satu domain di domain lain. tapi, karena x [ n ] dihipotesiskan menjadi 0 di luar interval 0 ≤ n ≤ N - 1 , yang tumpang tindih-menambahkan tidak apa-apa. itu hanya berkala meluas bagian non-nol dari x [ n$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$ , urutan panjang terbatas asli kami,$x[n]$ .

Since DTFT output is continuous, it can not be processed with computers. So we have to convert this continuous signal into discrete form. It is nothing but DFT as a further advancement on FFT to reduce calculations.

If I am correct, even if DFT input is periodic, although the number of samples is finite, the mathematics behind it treats it as an infinite sequence which periodically commences the N samples after its termination. Please correct me if I am wrong.

DFT:

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ INVESTASINYA AKAN: $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$