Menerapkan syarat batas Dirichlet ke persamaan Poisson dengan metode volume hingga

Saya ingin tahu bagaimana kondisi Dirichlet biasanya diterapkan ketika menggunakan metode volume hingga pada grid non-seragam berpusat sel,

Implementasi saya saat ini hanya memaksakan kondisi batas saya memperbaiki nilai sel pertama,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

di mana adalah variabel solusi dan adalah nilai kondisi batas Dirichlet di lhs domain ( NB ). Namun hal ini tidak benar karena syarat batas harus memperbaiki nilai sel wajah tidak nilai dari sel itu sendiri. Yang benar-benar harus saya terapkan adalah,g D ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Sebagai contoh, mari kita pecahkan persamaan Poisson,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

dengan kondisi awal dan kondisi batas,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(di mana adalah kondisi batas Neumann di sisi kanan).$g_N(x_R)$

Perhatikan bagaimana solusi numerik telah menetapkan nilai variabel sel ke nilai kondisi batas ( ) di sisi kiri. Ini memiliki pengaruh menggeser keseluruhan solusi ke atas. Efeknya dapat diminimalkan dengan menggunakan sejumlah besar titik mesh tetapi itu bukan solusi yang baik untuk masalah tersebut.$g_D(x_L)=0$

Pertanyaan

Dengan cara apa syarat batas Dirichlet diterapkan ketika menggunakan metode volume hingga? Saya berasumsi saya perlu memperbaiki nilai dengan menginterpolasi atau mengekstrapolasi menggunakan (titik hantu) atau sehingga garis lurus yang melewati titik-titik ini memiliki nilai yang diinginkan pada . Bisakah Anda memberikan panduan atau contoh bagaimana melakukan ini untuk mesh berpusat sel yang tidak seragam?ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Memperbarui

Ini usaha saya menggunakan pendekatan sel hantu yang Anda sarankan, apakah itu masuk akal?

Persamaan untuk sel adalah (di mana mewakili fluks dari ),F$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Kita perlu menulis dalam hal kondisi batas menggunakan sel hantu , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Tetapi pada akhirnya kita perlu menghilangkan istilah dari persamaan. Untuk melakukan ini kita menulis persamaan kedua yang merupakan interpolasi linier dari pusat sel ke pusat sel . Dengan mudah baris ini melewati , jadi ini adalah bagaimana kondisi Dirichlet memasuki kebijaksanaan (karena nilai pada titik ini hanya ),Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Menggabungkan persamaan 1 dan 2 kita dapat menghilangkan dan menemukan ekspresi untuk dalam hal dan ,F L ϕ 1 g D ( x L$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Dengan asumsi bahwa kita bebas untuk memilih volume sel hantu kita dapat menetapkan untuk diberikan,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Ini dapat disederhanakan lebih lanjut karena jika sel dan memiliki volume yang sama maka kita dapat mengatur akhirnya memberi,Ω 1 jam - → h $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Namun, pendekatan ini telah memulihkan definisi yang tidak stabil sehingga saya tidak terlalu yakin bagaimana untuk melanjutkan? Apakah saya salah menafsirkan saran Anda (@Jan)? Yang aneh adalah yang sepertinya berfungsi, lihat di bawah,

Lihat di bawah, ini berfungsi,

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Stabilitas dan konvergensi (urutan pertama dalam max-norm diskrit) untuk masalah poisson telah dibuktikan oleh Grossmann & Roos untuk kisi-kisi, dengan sel batas yang berbeda dengan "pusat" mereka pada batas aktual seperti yang diilustrasikan dalam gambar saya untuk kasus 1D.

Di sini, hasil bagi diferensial pada antarmuka didekati secara langsung.

Saya akan mengatakan sel hantu adalah pendekatan yang umum, karena dua alasan.

• Mereka meniru situasi stabil yang dijelaskan dalam gambar saya tetapi dengan kondisi batas yang diinterpolasi
• Mereka hanya terikat pada batas fisik. Dengan demikian, seseorang dapat menggunakan triangulasi domain, apa yang juga menguntungkan, karena seseorang sering juga memiliki BC alami yang secara langsung dikenakan pada antarmuka [ Grossmann & Roos , p. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Apa yang Anda temukan di sini adalah mengapa volume hingga tidak sering digunakan untuk persamaan eliptik yang menimbulkan kondisi Dirichlet. Mereka digunakan untuk undang-undang konservasi di mana kondisi yang lebih alami dinyatakan dalam fluks.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Tentu saja, satu hal yang juga perlu diperiksa adalah stabilitas diskritisasi Anda dengan pendekatan orde kedua di perbatasan. Dari atas kepala saya, saya tidak tahu apakah itu akan stabil dikombinasikan dengan pendekatan urutan kedua terpusat di interior. Analisis stabilitas matriks akan memberi tahu Anda dengan pasti. (Saya hampir yakin bahwa pendekatan urutan pertama pada batas akan stabil.)

Anda menyebutkan kemungkinan menggunakan poin hantu. Ini mengarah ke masalah yang Anda butuhkan untuk memperkirakan dari interior ke titik hantu dan menggunakan bc dalam proses. Saya curiga, tetapi belum "membuktikannya", bahwa setidaknya beberapa perawatan titik hantu setara dengan menggunakan jenis pendekatan yang telah saya uraikan di atas.

Semoga ini bisa membantu sedikit.