Mari kita perhatikan kondisi awal yang halus dan persamaan panas dalam satu dimensi: dalam interval terbuka , dan mari kita asumsikan bahwa kita ingin menyelesaikannya secara numerik dengan perbedaan hingga.
Saya tahu bahwa agar masalah saya dapat diposisikan dengan baik, saya harus memberinya syarat batas pada dan . Saya tahu bahwa Dirichlet atau Neumann bekerja dengan baik.
Jika saya memiliki dalam kasus pertama titik interior untuk , maka saya memiliki tidak diketahui: untuk , karena ditentukan pada batas-batas.
Dalam kasus kedua, saya benar-benar memiliki tidak diketahui , dan saya tahu cara menggunakan Neumann BC (homogen) untuk melenyapkan laplacian di perbatasan, misalnya dengan tambahan dua poin fiktif dan dan persamaannya:
Pertanyaan saya adalah tentang BC berkala. Saya merasa bahwa saya dapat menggunakan satu persamaan, yaitu tapi mungkin dua, dan kemudian saya akan menggunakan
tapi saya tidak yakin. Saya juga tidak tahu berapa banyak yang tidak diketahui yang harus saya miliki. Apakah ini ?
Jawaban:
Cara terbaik untuk melakukan ini adalah (seperti yang Anda katakan) hanya menggunakan definisi kondisi batas periodik dan mengatur persamaan Anda dengan benar dari awal menggunakan fakta bahwa . Bahkan, lebih kuat lagi, kondisi batas periodik mengidentifikasi x = 0 dengan x = 1 . Karena alasan ini, Anda hanya boleh memiliki salah satu dari poin ini di domain solusi Anda. Interval terbuka tidak masuk akal ketika menggunakan kondisi batas periodik karena tidak ada batas .u(0)=u(1) x=0 x=1
Fakta ini berarti Anda tidak boleh menempatkan titik pada karena sama dengan x = 0 . Diskritisasi dengan N + 1 poin, Anda kemudian menggunakan fakta bahwa menurut definisi, titik di sebelah kiri x 0 adalah x N dan titik di sebelah kanan x N adalah x 0 .x=1 x=0 N+1 x0 xN xN x0
PDE Anda kemudian dapat didiskresi dalam ruang sebagai
Ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai mana A=[ - 2 1 0 ⋯ 0 1 1 - 2 1 0 ⋯ 0
Tentu saja tidak perlu untuk benar-benar membuat atau menyimpan matriks ini. Perbedaan yang terbatas harus dihitung dengan cepat, berhati-hati untuk menangani poin pertama dan terakhir secara khusus sesuai kebutuhan.
sumber
Menurut ini, Anda harus memberlakukan ketentuan batas periodik sebagai:
Salah satu cara mendiskritisasi Persamaan Panas secara implisit menggunakan Euler mundur adalah
Memecahkan sistem persamaan
Yang memberi Anda persamaan N + 2 dan N + 2 tidak diketahui.
Anda juga dapat menyingkirkan yang pertama ke persamaan dan sel hantu dan tiba di sistem persamaan N dan N yang tidak diketahui.
sumber