Saya mencoba belajar tentang menyelesaikan sendiri PDE secara numerik.
Saya sudah mulai dengan metode beda hingga (FDM) untuk beberapa waktu karena saya mendengar bahwa FDM adalah dasar dari banyak metode numerik untuk PDE. Sejauh ini saya punya beberapa pemahaman dasar untuk FDM dan bisa menulis kode untuk beberapa PDE sederhana terletak di wilayah biasa dengan bahan yang saya temukan di perpustakaan dan Internet, tapi anehnya, bahan-bahan yang saya dapatkan biasanya hanya berbicara sedikit. tentang pengobatan batas yang tidak teratur, melengkung, aneh, seperti ini .
Terlebih lagi, saya belum pernah melihat cara mudah untuk berurusan dengan batas lengkung. Misalnya, buku Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial Parsial - Suatu Pengantar (Morton K., Mayers D) , yang berisi diskusi paling terperinci (terutama dalam 3,4 dari p71 dan 6,4 dari p199) yang saya lihat sampai sekarang, telah berubah menjadi ekstrapolasi yang benar-benar rumit dan membuat frustrasi bagi saya.
Jadi, seperti judulnya bertanya, tentang batas melengkung, biasanya bagaimana orang menghadapinya ketika menggunakan FDM? Dengan kata lain, pengobatan apa yang paling populer untuk itu? Atau tergantung jenis PDE?
Apakah ada (setidaknya relatif) cara yang elegan dan presisi tinggi untuk menangani batas lengkung? Atau itu hanya rasa sakit yang tak terhindarkan?
Saya bahkan ingin bertanya, apakah orang benar-benar menggunakan FDM untuk batas melengkung saat ini? Jika tidak, apa metode yang umum untuk itu?
Bantuan apa pun akan dihargai.
Batas melengkung tercakup dalam sebagian besar buku CFD, misalnya, Bab 11 dari Wesseling atau Bab 8 dari Ferziger dan Peric .
Meskipun bukan masalah teoretis yang mendasar, kompleksitas praktis penerapan kondisi batas untuk metode tingkat tinggi pada batas melengkung adalah alasan signifikan untuk minat pada metode yang lebih fleksibel secara geometris seperti metode elemen hingga (termasuk Galerkin diskontinyu). Perbedaan hingga terstruktur dan grid volume terbatas masih digunakan dalam beberapa simulasi CFD, tetapi metode tidak terstruktur mendapatkan popularitas dan operasi lokal yang digunakan oleh metode tak terstruktur tingkat tinggi sebenarnya cukup efisien, dan dengan demikian mungkin tidak mengalami banyak kerugian dalam efisiensi dibandingkan dengan FD serupa metode. (Memang, fleksibilitas geometrik sering membuat mereka lebih efisien.)
sumber
Saya telah bekerja pada fdm presisi tinggi selama n tahun terakhir. dan saya telah menggunakan persamaan elektrostatik -2 redup laplace sebagai contoh untuk secara eksplisit mengembangkan algoritma presisi tinggi. sampai sekitar 4 tahun yang lalu masalah-masalah tersebut dibangun dengan titik-titik garis horizontal atau vertikal dari kemungkinan diskontinuitas. jika Anda google nama saya dan fdm presisi tinggi Anda harus menemukan referensi. tapi ini bukan pertanyaanmu. pertanyaan Anda adalah batas fdm dan kurva. sekitar setahun yang lalu saya mempresentasikan solusi pesanan 8 di hong kong (lihat Metode Perbedaan Hingga untuk Cylindrically Symmetric Electrostatics yang memiliki Batas Lengkung)) yang membuat urutan 8 algoritma untuk titik interior dekat dengan batas dan ini tentu saja memerlukan titik di sisi lain dari batas. titik-titik di sisi lain dari batas diletakkan di sana hanya dengan memperluas jala ke sisi lain. Setelah melakukan ini, pertanyaannya adalah bagaimana Anda menemukan nilai-nilai dari poin-poin ini ketika bersantai. itu dicapai dengan mengintegrasikan dari batas (potensi yang diketahui) ke titik menggunakan algoritma. itu cukup berhasil dan cukup akurat ~ <1e-11, TETAPI membutuhkan 103 algoritma yang masing-masing dibuat secara individual dan agak rapuh, geometri yang tidak stabil dapat ditemukan. untuk memperbaiki solusi di atas telah ditemukan (urutan 8 dan di bawah) menggunakan (minimal!) algoritma minimal dan solusi menunjukkan ketahanan yang cukup besar. telah dikirimkan tetapi akan tersedia sebagai cetakan dengan mengirimkan email kepada saya. Saya percaya teknik ini akan diperluas ke waktu pde's independen (diperlukan linier) selain laplace dan ke dimensi lebih tinggi dari 2. Saya belum mempertimbangkan masalah tergantung waktu tetapi teknik yang menjadi teknik rangkaian daya harus dapat beradaptasi dan dapat diterapkan. David
sumber