Saya tertarik untuk menyelesaikan persamaan Poisson menggunakan pendekatan finite-difference. Saya ingin lebih memahami bagaimana menulis persamaan matriks dengan kondisi batas Neumann. Akankah seseorang meninjau yang berikut, apakah itu benar?
Matriks beda hingga
Persamaan Poisson,
dapat didekati dengan persamaan matriks hingga-perbedaan,
di mana adalah n × n matriks dan u dan d adalah 1 × n (kolom) vektor,
Menambahkan kondisi batas Neumann
Kondisi batas Neumann memberlakukan fluks pengetahuan pada batas (di sini kami menerapkannya di sisi kiri di mana batas berada pada ),
menulis kondisi batas ini sebagai perbedaan-tengah terpusat,
NB. Saya awalnya membuat kesalahan di sini, menandatangani kesalahan dan tidak membagi dengan 2. Berikut ini telah diperbaiki.
Perhatikan pengenalan titik jala di luar domain asli ( ). Istilah ini dapat dihilangkan dengan memperkenalkan persamaan kedua, u 0 - 2 u 1 + u 2
Persamaan muncul dari memiliki lebih banyak informasi karena pengenalan titik jala baru. Hal ini memungkinkan kita untuk menulis turunan ganda dari sebagai batas dalam hal menggunakan berpusat terbatas-perbedaan.
Bagian yang aku tidak yakin
Menggabungkan kedua persamaan ini dapat dihilangkan. Untuk menunjukkan kerja, mari kita mengatur ulang untuk yang tidak dikenal,
Selanjutnya mereka disetel sama dan disusun kembali ke dalam formulir,
Akhirnya, menggunakan persamaan ini sebagai baris pertama dari matriks,
Beberapa pemikiran terakhir,
- Apakah matriks terakhir ini benar?
- Bisakah saya menggunakan pendekatan yang lebih baik?
- Apakah ada cara standar untuk menulis matriks ini?
Jawaban:
Saya pikir Anda berada di jalan yang benar. Jika Anda memperbaiki kesalahan Anda, itu akan terlihat sangat mirip dengan http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf .
sumber
Mundur dan pikirkan masalahnya sebentar. Menentukan persamaan Laplace secara fundamental menyatakan bahwa setiap titik adalah rata-rata tetangganya. Ini umumnya divisualisasikan sebagai lembaran karet, dan membantu saya untuk memikirkan hal-hal ini. (Poisson adalah serupa dengan poin melar lebih atau kurang)
Ketika Anda menentukan nilai permukaan solusi di tepi terluar Anda "menyematkan" lembar di ruang di titik-titik tersebut. Saat Anda menentukan lembar dengan turunannya di tepinya, ada sejumlah solusi yang memenuhi persamaan yang menerjemahkan lembar dalam ruang sambil mempertahankan bentuk aktual yang sama dan dengan demikian turunannya.
sumber