Saya tertarik pada saran untuk referensi buku tentang masalah numerik PDE dan ODE, khususnya, analisis yang ketat dari metode tersebut dengan cara yang ditulis untuk ahli matematika profesional. Itu tidak harus sangat komprehensif dalam arti daftar ratusan atau ribuan metode yang berbeda, tetapi saya akan tertarik pada sesuatu yang setidaknya mencakup sebagian besar konsep kunci yang memandu teknik modern.
Saya pikir akan lebih tepat untuk menggambar analogi ke buku teks pada aljabar linear numerik, yang lebih saya kenal. Saya mencari sesuatu yang untuk stabilitas dan kesalahan pemotongan dalam persamaan diferensial numerik sebagai Akurasi dan Stabilitas Algoritma Numerik Higham adalah untuk stabilitas dan kesalahan pembulatan dalam aljabar linear numerik, dan sesuatu yang membahas teknik modern dalam ODE dan PDE seperti yang dilakukan oleh Golub. dan Komputasi Matriks Van Loan membahas sebagian besar jenis teknik utama untuk aljabar linier.
Saya sebenarnya tahu sedikit tentang ODE dan PDE numerik. Saya telah membaca beberapa macam catatan online, dan saya memiliki buku Metode Perbedaan Hingga untuk persamaan Diferensial Biasa dan Parsial oleh Randall LeVeque, yang merupakan buku yang jelas tetapi tidak cukup mendalam untuk tujuan saya. Sebagai contoh yang lebih konkret dari level yang saya cari, saya berharap bahwa setiap bagian pada persamaan eliptik dan parabola mengasumsikan pembaca memiliki pengetahuan penuh dengan teori ruang Sobolev dan embeddingsnya, dan solusi lemah untuk PDE, dan menggunakan hasil dari teori itu agak bebas dalam memperoleh estimasi kesalahan untuk elemen hingga, dll.
sumber
Jawaban:
Anda tidak akan menemukan satu referensi secara sistematis yang mencakup analisis semua metode penting untuk PDE. Bidang teknik diskritisasi untuk PDE setidaknya urutan besarnya lebih besar dari salah satu topik yang Anda sebutkan di atas. Untuk setiap metode yang melibatkan pemecahan implisit, mempelajari diskritisasi tanpa juga mempertimbangkan metode solusi (misalnya, metode multigrid terkait) adalah cara yang dicoba dan benar untuk melukis diri Anda ke sudut "sangat tidak praktis".
Agaknya Anda akrab dengan Brenner dan Scott, Teori Matematika Metode Elemen Hingga . Ini adalah teks tingkat pascasarjana, dan meskipun memiliki bagian pengantar, Anda dapat dengan cepat mencapai hasil penting.
Untuk analisis kesalahan posteriori dalam FEM, sumber yang baik adalah makalah tinjauan, Ainsworth dan Oden, A estimasi kesalahan posteriori dalam analisis elemen hingga , 1997 .
Untuk metode volume hingga, Anda mungkin menyukai kertas Acta Numerica, Morton dan Sonar, metode volume hingga untuk undang-undang konservasi hiperbolik , 2007 . Seperti yang ditulis oleh Acta Numerica, ini tidak terlalu dikutip. Saya menduga itu sebagian karena buku LeVeque sangat bagus dan karena sebagian besar praktisi yang belum menggunakan bukunya akrab dengan banyak sumber asli. Meskipun saya tidak terbiasa dengan itu, Anda mungkin juga melihat Bouchut, Stabilitas Nonlinear dari Metode Volume Hingga untuk Hukum Konservasi Hiperbolik .
sumber
Saya mendukung pendapat Jed tentang pentingnya mempertimbangkan pemecah masalah pada saat yang sama dengan diskritisasi. Ini adalah sesuatu yang "lebih murni" yang kadang gagal dilakukan oleh matematikawan, yang sangat merugikan mereka, karena mereka memecahkan masalah yang salah . Hal-hal seperti struktur blok, pola sparsity, dan kemampuan untuk membangun prekondisi cenderung jauh lebih penting daripada hal-hal sederhana seperti jumlah derajat kebebasan / ukuran mesh.
Brezzi & Fortin - "Metode Elemen Hingga Campuran dan Hibrid" mencakup materi yang saling melengkapi untuk Brenner dan Scott. Itu sudah tidak dicetak lagi dan orang-orang benar-benar menggantung pada salinan mereka, jadi jika Anda tidak ingin membayar beberapa ratus dolar Anda mungkin harus meminjamnya dari perpustakaan Anda.
Rangkaian makalah oleh Rannacher et al pada awal 2000-an seperti "Pendekatan Kontrol Optimal untuk Estimasi Kesalahan Posteriori dalam Metode Elemen Hingga" memberikan pemahaman yang lebih dalam dan lebih luas tentang estimasi kesalahan posteriori daripada apa yang dijelaskan dalam Ainsworth dan Oden. buku (menurut saya).
Ruang Sobolev bukan ruang fungsi serba bisa untuk semua, meskipun Anda mungkin mendapatkan kesan membaca buku-buku pascasarjana pengantar seperti Evans. Ruang Besov lebih umum dan cukup baik, dan memaksa Anda untuk berpikir tentang bagaimana dan mengapa ruang fungsi tertentu dibangun dengan mengendalikan blok bangunan dasar untuk memberikan kendala pada osilasi, keterpaduan, dan struktur multiskala. Artikel "filosofis" yang bagus tentang masalah ruang fungsi secara luas adalah tulisan Terry Tao di sini . Buku Triebel (terutama tentang ruang Besov), "Teori Fungsi Spasi II" , sangat bagus! Ada hubungan yang mendalam antara ruang Besov dan wavelet, jadi artikel DeVore yang sangat mudah dibaca tentang wavelet bermanfaat.
sumber
Selain rekomendasi besar Jed (saya pribadi dapat menjamin untuk Brenner + Scott sebagai buku elemen hingga intro yang hebat), buku yang sangat bagus untuk solusi numerik ODE adalah Butcher:
http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC
Itu adalah Alkitab saya untuk sementara waktu, sampai perpustakaan universitas saya menariknya kembali.
Anda juga mungkin menemukan Ern + Guermond sebagai buku yang berharga, jika Anda sudah merasa nyaman dengan matematika yang rumit
http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC
Setelah membaca beberapa makalah dari Ern + Guermond saya dapat mengatakan mereka pasti condong ke formalisme berat. Bab-bab ini kurang lebih berisi modulo beberapa notasi yang Anda mungkin harus membalik untuk mendapatkan definisi.
sumber
Untuk PDE, buku dengan cita rasa analitik fungsional yang sama seperti Ern dan Guermond adalah D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Menjadi buku teks daripada monografi penelitian, buku ini lebih mudah diakses, meskipun kurang komprehensif. Di sisi lain, ini juga membahas aplikasi (terutama dalam elastisitas).
Mengenai ODE, saya percaya Alkitab masih merupakan karya tiga volume oleh Hairer dan Wanner ( Memecahkan ODE I , Memecahkan ODE II dan Integrasi Numerik Geometris ).
Akhirnya, jangan mengabaikan banyak catatan kuliah bagus yang tersedia di internet.
sumber