Ketika kita menggunakan polinomial Bernstein dalam aplikasi

Ketika lebih disukai menggunakan polinomial Bernstein untuk memperkirakan fungsi kontinu daripada menggunakan satu-satunya metode Analisis Numerik pendahuluan berikut: "Polinomial Lagrange", "operator perbedaan hingga Simple".

Pertanyaannya adalah tentang menyesuaikan metode ini.

Polinomial Bernstein dan polinomial Lagrange keduanya menjangkau ruang yang sama. Jadi dalam hal fungsi yang mungkin dapat diwakili, menggunakan satu atau yang lain tidak ada bedanya. Namun, jika Anda berpikir untuk menggunakan ini sebagai fungsi dasar baik dalam metode elemen hingga atau masalah interpolasi, sifat spektral dari operator linier yang Anda buat akan tergantung pada polinomial yang Anda pilih sebagai basis. Ini dapat menyebabkan perbedaan dalam konvergensi pemecah iteratif. Namun dengan tidak adanya kesalahan aljabar linier, Anda akan mendapatkan jawaban yang sama menggunakan kedua basis tersebut.

Membandingkan ini dengan operator perbedaan hingga adalah cerita yang berbeda. Menggunakan polinomial akan memberi Anda perkiraan kesalahan pada norma yang berkelanjutan. Saya tidak terlalu berpengalaman dalam perbedaan yang terbatas, tetapi pemahaman saya adalah bahwa Anda hanya akan mendapatkan estimasi kesalahan di lokasi yang Anda pilih untuk diskritkan. Apa yang terjadi di antara titik-titik ini tidak jelas.

Saya menggunakan polinomial Bernstein dalam metode kolokasi untuk memecahkan masalah nilai batas untuk ODE dan PDE. Mereka cukup menarik.

Konvergensi adalah eksponensial untuk beberapa BVP linier, tetapi sedikit lebih lambat dibandingkan dengan kolokasi Chebyshev, Legendre Galerkin, dan Tau.

Inilah gambar yang membandingkan laju konvergensi dengan beberapa metode spektral Chebyshev. Contoh masalah adalah linear BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

Saya juga mengunggah angka ini ke figshare .

Jika mau, Anda dapat memeriksa kode yang saya tulis:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Dan inilah makalah arxiv yang saya tulis tentang memecahkan BVP elips di alun-alun menggunakan kolokasi polinomial Bernstein.

Tahun lalu mereka merayakan seratus tahun polinomial Bernstein - satu fakta yang lebih menarik.

Makalah di bawah ini menunjukkan bahwa mewakili polinomial dalam bentuk Bernstein mengarah ke algoritma yang stabil secara numerik dalam banyak kasus:

RT Farouki, VT Rajan, Tentang kondisi numerik polinomial dalam bentuk Bernstein, Desain Geometris Berbantuan Komputer , Volume 4, Edisi 3, November 1987, Halaman 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Titik kontrol dari kurva Bézier dekat dengan kurva, tetapi tidak harus pada kurva. Ini persis situasi yang sama dengan perkiraan oleh polinomial Bernstein, dan pada kenyataannya polinomial Bernstein adalah dasar untuk kurva Bézier. Anda dapat menggunakan kurva Bézier orde tinggi untuk menggambar garis halus melalui kurva yang diberikan oleh titik-titik bising, juga tidak ada yang akan melakukan ini karena upaya komputasi yang tinggi. Bahkan, interpolasi polinomial orde tinggi jarang digunakan hanya untuk alasan itu, hanya interpolasi Chebyshev yang terkadang merupakan pengecualian dari aturan itu.

Tetapi jika kita hanya berbicara tentang interpolasi polinomial orde rendah, maka spesifikasi intuitif kurva Bézier melalui titik kontrol adalah keuntungan yang jelas dibandingkan metode lain. Namun, dalam hal ini NURBS bahkan lebih baik, tetapi setidaknya kurva Bézier adalah kasus khusus dari NURBS, dan polinomial Bernstein juga merupakan bahan penting untuk NURBS.