Kapan metode implisit harus digunakan dalam integrasi PDE hiperbolik?

Metode numerik untuk memecahkan PDE (atau ODE) terbagi dalam dua kategori besar: metode eksplisit dan implisit. Metode implisit memungkinkan timesteps stabil yang lebih besar tetapi membutuhkan lebih banyak pekerjaan per langkah. Untuk PDE hiperbolik, kebijaksanaan umum adalah bahwa metode implisit biasanya tidak membuahkan hasil karena penggunaan timesteps lebih besar dari yang diizinkan oleh kondisi CFL mengarah ke hasil yang sangat tidak akurat. Namun, metode implisit digunakan dalam beberapa kasus. Untuk aplikasi yang diberikan, bagaimana seharusnya seseorang memilih apakah akan menggunakan metode eksplisit atau implisit?

Pertanyaan sentralnya adalah proses fisik mana (gelombang atau istilah sumber) yang memiliki skala waktu yang Anda ingin selesaikan dan yang Anda inginkan untuk melangkah. Jika Anda tidak tertarik dengan skala waktu tercepat dalam sistem, maka persamaannya disebut "kaku". Undang-undang konservasi hiperbolik biasanya ditulis sebagai sistem tingkat pertama

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

di mana berisi variabel yang dikonservasi, adalah fluks, dan disebut "istilah sumber". Perhatikan bahwa dengan istilah ini, fluks tidak mengandung derivatif, oleh karena itu istilah difusi dan dispersi harus pergi di . Sangat umum untuk menggunakan integrasi implisit atau semi-implisit ketika istilah sumber kaku, seperti dengan banyak masalah reaksi kimia dan ketika difusi atau dispersi hadir. Reaksi kimia biasanya dapat diselesaikan secara lokal di setiap elemen karena tidak digabungkan ke sel tetangga.$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Sebagai contoh, jika Anda mensimulasikan evolusi lama lautan, Anda mungkin tidak tertarik pada gelombang gravitasi permukaan (misalnya tsunami). Sayangnya, mengubah kecepatan gelombang (baik memperlambatnya untuk menggunakan metode eksplisit atau mempercepatnya ke model "tutup kaku" yang dapat menggunakan proyeksi) mengubah fisika dengan mengubah cara vortisitas merambat. Vortisitas di lautan adalah efek di mana gelombang gravitasi hampir seimbang dengan konveksi, tetapi tidak cukup.

Contoh lain adalah Euler yang dapat dimampatkan, misalnya aliran udara melalui pusat data. Kecepatan gelombang akustik jauh lebih cepat daripada konveksi dan hanya yang terakhir yang penting untuk perpindahan panas. Jika Anda tidak tertarik pada akustik, Anda mungkin ingin menggunakan metode implisit.

Efisiensi relatif dari metode implisit tergantung pada biaya untuk menyelesaikan sistem aljabar pada setiap langkah / tahap dibandingkan dengan ukuran langkah yang dapat digunakan dengan metode eksplisit. Memecahkan sistem aljabar seperti itu secara efisien adalah topik penelitian aktif. (Buat pertanyaan lain dan saya akan menjawabnya dan referensi dari sini.)

Anda mungkin juga ingin menggunakan metode implisit jika:

• persamaan Anda memiliki kondisi mantap bermakna yang ingin Anda jelajahi secara langsung, mungkin dengan karakterisasi stabilitas
• Anda memecahkan masalah asimilasi invers / data yang melibatkan sejarah waktu yang lama
• Anda ingin menghindari hambatan pemesanan untuk menggunakan metode integrasi waktu pesanan sangat tinggi dengan properti stabilitas tertentu
• Anda menggunakan metode adaptif ruang-waktu
• Anda menggunakan diskritisasi spasial yang sudah membutuhkan penyelesaian sistem aljabar (misalnya metode elemen hingga berkelanjutan dengan matriks massa konsisten)