Skema beda hingga untuk "persamaan gelombang", metode karakteristik

Pertimbangkan masalah berikut mana istilah pemaksaan dapat bergantung pada (lihat Edit 1 di bawah untuk formulasi), dan dan turunan pertamanya. Ini adalah persamaan gelombang 1 + 1 dimensi. Kami memiliki data awal yang ditentukan pada .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Saya tertarik pada solusi di dalam domain ketergantungan dari suatu interval dan sedang mempertimbangkan skema beda hingga berikut.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Tujuannya adalah untuk berkembang oleh dan juga . Skema ini terintegrasi dalam arti bahwa $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (kamu, v) + W_{kamu} (kamu, v) + W_{v} (kamu + 1, v) = W (kamu + 1, v + 1) = W (kamu, v) + W_{v} (kamu, v) + W_{kamu} (kamu, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ jadi saya dapat secara konsisten menghitung dari data awal dengan mengintegrasikan ke atas; maka saya hanya benar-benar perlu melihat persamaan evolusi untuk dan . $W$ $W_v$ $W_u$
Untuk data awal, kita memerlukan kondisi kompatibilitas . Yang menunjukkan bahwa saya dapat menghitung data awal dengan menggunakan maju (dalam ) beda hingga dari pada waktu awal dengan nilai-nilai yang diberikan $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ pada titik setengah bilangan bulat . $(u+0.5,v-0.5)$

Pertanyaan :

Apakah ini skema yang terkenal? Secara khusus, di mana saya dapat menemukan analisis skema ini?
Adakah hal yang jelas harus saya perhatikan?

Latar Belakang : Berpura-pura tidak tahu apa-apa (yang mungkin benar, karena saya seorang ahli matematika murni yang mencoba mempelajari sedikit mesin perhitungan).

Edit 1 : Hanya untuk memperjelas (untuk mengatasi beberapa komentar): persamaan di koordinat akan dan dan batal koordinat yang diberikan oleh (hingga beberapa faktor renormalising dari 2) dan . Jadi data awal di sebenarnya di . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Jadi alih-alih sebuah mesh disesuaikan dengan saya menganggap mesh disesuaikan dengan yang ¨ diproteksi 45 derajat ¨. Dibandingkan dengan mana mengambil nilai integer, orang dapat menganggap mesh memiliki titik tambahan di mana keduanya (tetapi tidak hanya satu) dan mengambil nilai setengah bilangan bulat. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde Willie Wong
sumber

Saya agak bingung dengan subskrip Anda, tetapi bagi saya ini sepertinya semacam rumusan domain waktu hingga-perbedaan . . . mungkin dengan formulasi mesh terhuyung-huyung (setengah indeks?).

meawoppl

@meawoppl: Dia hanya memanggil variabelnya

bukan

seperti yang biasa dilakukan. (Dalam formulasi

biasa , mereka juga dirotasi oleh

dalam bidang ruang-waktu melawan

, tapi itu masalah yang terpisah.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

Wolfgang Bangerth

Saya telah mengedit untuk mengklarifikasi (penjelasan Wolfgang Bangerth adalah apa yang ada dalam pikiran saya).

Willie Wong

Jawaban:

Pasti ada literatur tentang skema seperti ini. Dua kata kunci tersebut

Metode karakteristik yang dimodifikasi
Skema semi-Lagrangian

Setelah 20 menit googling: beberapa makalah yang mungkin penting adalah http://dx.doi.org/10.1137/0719063 dan http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (cari dari sana). Itu mungkin bukan referensi terbaik di luar sana, tetapi itu harus menjadi titik awal untuk membawa Anda ke literatur yang tepat.

Saya menganggap ini sebagai metode garis yang diputar dengan pemisahan dimensional. Agaknya Anda sangat menyadari kesetaraan persamaan dan bentuk biasa dari gelombang persamaan di bawah transformasi Bagi saya, berguna untuk memikirkan skema Anda dalam bentuk persamaan gelombang tradisional ini. Apa yang dilakukan skema adalah mengintegrasikan pertama di sepanjang satu set karakteristik, kemudian di sepanjang yang lain. Integrasi dilakukan dengan menggunakan pemisahan dimensional dan metode Euler

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

kamu = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , keduanya merupakan urutan pertama yang akurat.

Tentu saja, karena Anda mengintegrasikan sepanjang karakteristik, skema Anda akan tepat dalam kasus . Artinya, kesalahan numerik dalam skema Anda hanya akan disebabkan oleh integrasi numerik (ini mungkin jelas, tetapi mungkin berguna untuk menunjukkan kepada mereka yang terbiasa dengan metode numerik yang lebih tradisional). Selanjutnya, skema Anda stabil tanpa syarat untuk kasus . Tidak ada lagi yang bisa dikatakan tentang stabilitas tanpa mengetahui beberapa sifat dari . Secara umum, skema akan stabil hanya di bawah beberapa pembatasan ukuran langkah hingga (karena metode Euler eksplisit). Jika Jacobian dari $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ memiliki nilai eigen murni imajiner, skema ini tidak akan stabil.

Pendekatan diskritisasi umum untuk mengurangi PDE ke sistem ODE (seperti dalam metode Anda) dikenal sebagai metode garis. Seperti halnya metode diskritisasi garis apa pun, Anda dapat meningkatkan urutan keakuratan dengan menggunakan pemecah ODE tingkat tinggi dan Anda dapat meningkatkan stabilitas dengan menggunakan pemecah ODE implisit yang sesuai (dengan peningkatan biaya komputasi per langkah yang menyertainya).

David Ketcheson
sumber

"tetapi Google akan membantu Anda lebih banyak" Sebenarnya itu adalah salah satu masalah besar. Saya tidak yakin untuk apa Google (saya menduga literatur numerik dapat menggunakan beberapa istilah berbeda dari literatur murni). Jika Anda dapat menyarankan beberapa kata kunci yang harus saya cari, saya akan berterima kasih. ("Metode garis", misalnya, mengarahkan saya ke banyak informasi [mungkin bahkan sedikit bagi saya untuk dapat menyaring melalui :-)].)

Willie Wong

@ WillieWong - Salah satu referensi untuk persamaan hiperbolik yang biasa kita kutip adalah Metode Volume Hingga LeVeque untuk Masalah Hiperbolik . Saya tidak yakin apakah ini referensi yang tepat untuk Anda mulai, tetapi setidaknya akan memberi Anda pengantar istilah dan teknik di lapangan.

Aron Ahmadia

Oke, saya menambahkan beberapa kata kunci dan referensi. Saya harap mereka membantu.

David Ketcheson

Terima kasih banyak untuk referensi! Itu membuat saya awal yang baik.

Willie Wong

Berawal dari tempat David Ketcheson meninggalkan saya dalam jawabannya, sedikit lebih banyak pencarian mengungkapkan beberapa catatan sejarah.

Skema yang saya uraikan di atas dianggap sudah kembali pada tahun 1900 oleh J. Massau, di Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . Karya ini diterbitkan ulang pada tahun 1952 oleh G. Delporte, Mons.

Analisis modern pertama (walaupun singkat) tentang konvergensi dan semacamnya diberikan oleh Courant, Friedrichs, dan Lewy dalam makalah klasik mereka tahun 1928 di Math. Ann.

Willie Wong
sumber

Wow, saya tidak percaya saya tidak menyadari bahwa ini ada di koran CFL ...

David Ketcheson