Deskripsi percobaan:
Dalam interpolasi Lagrange, persamaan yang tepat diambil sampelnya pada titik (urutan polinomial ) dan diinterpolasi pada titik 101. Di sini bervariasi dari 2 hingga 64. Setiap kali plot kesalahan , dan disiapkan. Hal ini terlihat bahwa, ketika fungsi sampel pada titik-titik equi-spasi, kesalahan tetes awalnya (itu terjadi sampai kurang dari sekitar 15 atau lebih) dan kemudian kesalahan naik dengan peningkatan lebih lanjut dalam .
Sedangkan, jika pengambilan sampel awal dilakukan pada titik Legendre-Gauss (LG) (akar polinomial Legendre), atau poin Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) (akar polinomial Lobatto), kesalahan turun ke tingkat mesin dan tidak meningkat ketika semakin meningkat.
Pertanyaan saya adalah,
Apa yang sebenarnya terjadi dalam kasus titik yang berjarak sama?
Mengapa peningkatan urutan polinomial menyebabkan kesalahan naik setelah titik tertentu?
Apakah ini juga berarti bahwa jika saya menggunakan titik equi-spaced untuk rekonstruksi WENO / ENO (menggunakan polinomial Lagrange), maka di wilayah yang mulus, saya akan mendapatkan kesalahan? (yah, ini hanya pertanyaan hipotetis (untuk pemahaman saya), benar-benar tidak masuk akal untuk merekonstruksi polinomial urutan 15 atau lebih tinggi untuk skema WENO)
Detil tambahan:
Fungsi diperkirakan:
,
dibagi menjadi equispaced (dan nantinya LG) poin. Fungsi ini diinterpolasi pada 101 titik setiap kali.
Hasil:
- a) Poin equi-spaced (interpolasi untuk ):
- b) Poin yang berjarak spasi (plot kesalahan, skala log):
a) Poin LG (Interpolasi untuk ):
b) Poin LG (plot kesalahan, skala log):
Ini pertanyaan yang sangat menarik, dan ada banyak kemungkinan penjelasan. Jika kita mencoba menggunakan interpolasi polinomial, maka perhatikan bahwa polinomial memenuhi ketidaksetaraan berikut yang menjengkelkan.
dan perhatikan bahwa ini tajam dalam arti bahwa polinomial Chebysehv menjadikan ini persamaan. Jadi dengan kata lain kita memiliki ikatan gabungan berikut.
Namun ternyata ini belum tentu merupakan fenomena polinomial, saya sarankan makalah berikut:
http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf
Dikatakan longgar: Jika Anda memiliki kekuatan perkiraan yang sama dari basis polinom, maka Anda tidak dapat menggunakan titik spasi sama dengan cara yang stabil.
sumber
Bukan titik - titik dengan jarak yang sama yang menjadi masalah. Ini adalah dukungan global dari fungsi-fungsi dasar bersama dengan titik-titik yang berjarak sama yang merupakan masalahnya. Suatu interpolant yang dikondisikan dengan baik menggunakan titik-titik yang berjarak sama dijelaskan dalam Analisis Numerik Kress, menggunakan fungsi basis kompak cubic-b spline dari dukungan ringkas.
sumber
Ini mirip dengan fenomena Runge di mana, dengan node yang berjarak sama, kesalahan interpolasi menjadi tak terhingga dengan meningkatnya derajat polinomial, yaitu jumlah titik.
Salah satu akar masalah ini dapat ditemukan dalam konstanta Lebesgue seperti yang dicatat oleh komentar @ Subodh pada jawaban @Pedro. Konstanta ini menghubungkan interpolasi dengan perkiraan terbaik.
Beberapa notasi
Estimasi kesalahan adalah:
Dengan ini perkiraan akhir adalah:
Dengan mengikuti teorema, kita bisa mendapatkan estimasi kesalahan interpolasi dengan konstanta Lebesgue:
Untuk distribusi node lain, lihat misalnya tabel 1 artikel ini .
Ada banyak referensi di buku tentang interpolasi. Secara online slide ini bagus sebagai resume.
Juga artikel terbuka ini ([1])
Perbandingan Tujuh Grid Interpolasi untuk polinomial pada Interval untuk berbagai perbandingan.
sumber
dengan "fungsi blending"
Beberapa sifat dari interpolant ini:
Perpustakaan Chebfun menggunakan interpolant FH ketika membangun
chebfuns
dari data equispaced, seperti yang dijelaskan di sini .Referensi:
sumber