Saya memiliki integral (2 dimensi) yang tidak tepat
di mana domain integrasi lebih kecil dari x = [ - 1 , 1 ] , y = [ - 1 , 1 ] tetapi selanjutnya dibatasi oleh F ( x , y ) > 0 . Karena F dan W halus dan W ≠ 0pada batas, relasi selanjutnya menyiratkan bahwa integand dapat tunggal pada batas. Integrandnya terbatas. Saya, sejauh ini, menghitung integral ini dengan integrasi numerik bersarang. Ini berhasil tetapi lambat. Saya mencari metode yang lebih tepat (lebih cepat) untuk mengatasi integral, mungkin metode Monte-Carlo. Tapi saya butuh satu yang tidak menempatkan poin pada batas domain non-kubik A dan mengambil batas integral yang tidak tepat dengan benar. Dapatkah transformasi Integral membantu ekspresi umum ini? Perhatikan bahwa saya dapat menyelesaikan untuk y sebagai fungsi x dan bahkan menghitung I untuk beberapa fungsi bobot khusus W ( .
sumber
Jawaban:
Penafian: Saya menulis tesis PhD saya tentang quadrature adaptif, jadi jawaban ini akan sangat bias terhadap pekerjaan saya sendiri.
QAGS GSL adalah integrator QUADPACK lama , dan tidak sepenuhnya kuat, terutama di hadapan singularitas. Ini biasanya menyebabkan pengguna meminta lebih banyak digit akurasi daripada yang sebenarnya mereka butuhkan, sehingga membuat integrasi cukup mahal.
Jika Anda menggunakan GSL, Anda mungkin ingin mencoba kode saya sendiri, CQUAD , yang dijelaskan dalam makalah ini . Ini dirancang untuk mengatasi singularitas, baik di tepi interval dan di dalam domain. Perhatikan bahwa perkiraan kesalahan cukup kuat, jadi hanya minta sebanyak digit yang Anda butuhkan.
Berkenaan dengan integrasi Monte-Carlo, itu tergantung pada akurasi yang Anda cari. Saya juga tidak begitu yakin seberapa baik kerjanya di dekat singularitas.
sumber
Metode Monte Carlo secara umum tidak dapat bersaing dengan quadrature adaptif kecuali jika Anda memiliki integral dimensi tinggi di mana Anda tidak mampu membeli ledakan kombinatorial titik quadrature dengan dimensi.
sumber
Coba Quadrature Eksponensial Ganda bersarang (lihat implementasi Ooura ). Teknik ini menggunakan transformasi variabel yang membuat integand yang ditransformasikan untuk berperilaku sangat lancar di perbatasan dan sangat efisien untuk menangani singularitas di perbatasan. Ada juga daftar referensi DE quadrature yang sangat bagus di situs webnya.
sumber