Saya tahu bahwa sebagian besar metode untuk menemukan solusi perkiraan untuk skala PDE buruk dengan jumlah dimensi, dan bahwa Monte Carlo digunakan untuk situasi yang membutuhkan ~ 100 dimensi.
Apa metode yang baik untuk memecahkan PDE secara numerik secara efisien dalam ~ 4-10 dimensi? 10-100?
Apakah ada metode selain Monte Carlo yang skala dengan jumlah dimensi?
Jawaban:
Cara yang lebih terstruktur untuk menyediakan basis atau quadrature (yang dapat menggantikan MC dalam banyak kasus) dalam berbagai dimensi adalah dengan grid yang jarang , yang menggabungkan beberapa keluarga aturan satu dimensi dari urutan yang berbeda-beda sedemikian rupa sehingga hanya memiliki pertumbuhan eksponensial dalam Dimensi, , daripada memilikinya dimensi itu adalah eksponen dari resolusi N d .2d Nd
Ini dilakukan melalui apa yang dikenal sebagai quadrature Smolyak, yang menggabungkan serangkaian aturan satu dimensi sebagaiQ1l
Ini setara dengan ruang quadrature produk tensor dengan pesanan campuran tinggi dihapus dari ruang. Jika ini dilakukan dengan cara yang cukup parah, kompleksitasnya dapat meningkat pesat. Namun, agar seseorang dapat melakukan ini dan mempertahankan perkiraan yang baik, keteraturan dari solusi harus memiliki turunan campuran yang hilang secara memadai.
Jarang grid telah dipukuli sampai mati oleh kelompok Griebel untuk hal-hal seperti persamaan Schrödinger di ruang konfigurasi dan hal-hal dimensi tinggi lainnya dengan hasil yang cukup bagus. Dalam aplikasi, fungsi dasar yang digunakan mungkin cukup umum, selama Anda dapat membuatnya. Sebagai contoh, gelombang bidang atau pangkalan hierarkis adalah umum.
Cukup mudah untuk membuat kode sendiri. Dari pengalaman saya, benar-benar membuatnya bekerja untuk masalah ini, bagaimanapun, sangat sulit. Ada tutorial yang bagus .
Untuk masalah yang solusinya tinggal di ruang Sobolev khusus yang menampilkan turunan yang cepat mati, pendekatan grid jarang berpotensi menghasilkan hasil yang lebih besar .
Lihat juga kertas ulasan Acta Numerica, diskretisasi tensor Jarang parametrik tinggi dan stokastik PDE .
sumber
Sebagai aturan umum, mudah untuk memahami mengapa kisi-kisi biasa tidak bisa melampaui masalah 3 atau 4 dimensi: dalam dimensi d, jika Anda ingin memiliki minimum N poin per arah koordinat, Anda akan mendapatkan N ^ d poin keseluruhan. Bahkan untuk fungsi yang relatif bagus dalam 1d, Anda memerlukan setidaknya N = 10 titik grid untuk menyelesaikannya sama sekali, sehingga jumlah keseluruhan poin akan 10 ^ d - yaitu bahkan pada komputer terbesar Anda tidak mungkin melampaui d = 9, dan mungkin tidak akan jauh melebihi sebelumnya . Grid jarang dapat membantu dalam beberapa keadaan jika fungsi solusi memiliki sifat-sifat tertentu, tetapi secara umum, Anda harus hidup dengan konsekuensi dari kutukan dimensi dan pergi dengan metode MCMC.
sumber
sumber