Memproyeksikan ruang nol dari

Dengan sistem mana , saya membaca bahwa, dalam kasus iterasi Jacobi digunakan sebagai pemecah, metode ini tidak akan konvergen jika memiliki komponen bukan nol dalam ruang nol . Jadi, bagaimana seseorang dapat secara resmi menyatakan bahwa, asalkan memiliki komponen non-nol yang mencakup ruang nol , metode Jacobi adalah non-konvergen? Saya bertanya-tanya bagaimana itu bisa diformalkan secara matematis, karena bagian dari solusi ortogonal ke ruang nol memang menyatu.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

Oleh karena itu, dengan memproyeksikan ruang nol dari setiap iterate, ia menyatu (atau?). $A$

.........

Saya sangat tertarik pada kasus mana adalah matriks Laplacian simetris dengan ruang-nol yang direntang oleh vektor , dan memiliki komponen nol dalam null-ruang , di mana

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

adalah matriks pemusatan. Apakah itu menyiratkan bahwa setiap iterasi Jacobi akan memiliki ruang kosong

diproyeksikan, yaitu., Setiap iterate akandipusatkan? Saya menanyakan hal ini sejak saat itu sehingga tidak perlu memproyeksikan ruang nol

dari Jacobi iterates (atau, dengan kata lain, untukmemusatkaniterates).

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

linear-algebra optimization matrix iterative-method linear-solver usero
sumber

Pertanyaan ini mungkin relevan untuk Anda juga: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

shuhalo

Terima kasih. Saya benar-benar membuat kutipan dari komentar saya di sana, karena pertanyaan itu layak mendapat perhatian dengan sendirinya. Namun, hal di atas tidak dialamatkan (tidak diformalkan, setidaknya).

usero

Oh, malu pada saya, saya tidak memeriksa itu pertanyaan Anda sendiri.

shuhalo

@JedBrown Jawaban Anda di scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… menginspirasi pertanyaan ini. Saya pikir itu layak mendapat pertimbangan independen. Saya kira Anda akan dapat mempertimbangkan pertanyaan di atas.

usero

Jawaban:

Kondisi yang benar untuk solvabilitas tidak ada hubungannya dengan ruang nol dari (kecuali simetris) tetapi dengan ruang nol dari . Jika maka menyiratkan bahwa , maka harus ortogonal ke vektor nol (jika tidak ada solusi, dan iterasi Jacobi tidak memiliki alasan untuk menyatu). $A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

Tetapi jika ini masalahnya, solusinya ada, dan dalam kasus kuadrat ada banyak sekali.

Dalam kasus tunggal, karena orang tidak pernah tahu apakah kondisi ini terpenuhi (dan itu akan dimanjakan oleh pembulatan), orang biasanya akan memecahkan masalah sebagai masalah kuadrat terkecil. Untuk menemukan solusi norma minimum, gunakan gradien konjugasi pada persamaan normal; ini mengharuskan Anda kode perkalian dengan dan oleh . (Hanya diberikan rutin untuk mengalikan dengan , seseorang dapat menggunakan GMRES sebagai gantinya, dengan sifat konvergensi yang kurang dapat diprediksi.) $A$ $A^T$ $A$

Arnold Neumaier
sumber

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ konstan dengan induksi, maka nol. - Tapi mengapa Anda peduli dengan metode Jacobi? Hal ini sangat lambat!

Arnold Neumaier

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$