Apakah kebalikannya juga benar? Apakah matriks yang dikondisikan buruk memiliki determinan yang hampir nol?
Ini adalah sesuatu yang saya coba di Octave:
a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10
linear-algebra
condition-number
Pemeriksaan resmi
sumber
sumber
Jawaban:
Ini adalah besarnya jumlah kondisi yang mengukur kedekatan dengan singularitas, bukan kelenturan penentu.κ(A)
Sebagai contoh, matriks diagonal memiliki determinan kecil, tetapi dikondisikan dengan baik.10−50I
Di sisi lain, perhatikan keluarga berikut dari matriks segitiga atas, karena Alexander Ostrowski (dan juga dipelajari oleh Jim Wilkinson):
Determinan dari matriks U selalu 1 , namun rasio terbesar dengan nilai singular terkecil (yaitu jumlah kondisi 2-norma κ 2 ( U ) = σ 1n×n U 1 ) ditunjukkan oleh Ostrowski sama dengancot2πκ2(U)=σ1σn , yang terlihat meningkat untuk meningkatkann.cot2π4n n
sumber
Dengan demikian tidak pernah menggunakan determinan untuk menilai kondisi atau kedekatan dengan singularitas.
Di sisi lain, untuk hampir semua masalah numerik yang diposisikan dengan baik, kondisi ini terkait erat dengan jarak ke singularitas, dalam arti gangguan relatif terkecil yang diperlukan untuk membuat masalah tersebut menjadi masalah. Secara khusus, ini berlaku untuk sistem linear.
sumber