Tunjukkan bahwa adalah forward- -Brownian

Definisi dan hal-hal:

Pertimbangkan ruang probabilitas yang difilter mana$(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Ini adalah ukuran risiko-netral .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

di mana adalah standar -Pergerakan brownian.$W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$$\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Pertimbangkan mana$M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Tentukan ukuran maju :$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

di mana adalah proses kurs pendek dan adalah harga obligasi pada waktu t.$\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Dapat ditunjukkan bahwa adalah a martingale di mana dinamika harga obligasi diberikan sebagai:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

dimana

1. $r_t$ dan adalah diadaptasi$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. $\xi_t$ memenuhi kondisi Novikov (saya tidak berpikir seharusnya mewakili sesuatu yang khusus)$\xi_t$

---

Masalah:

Tentukan proses stokastik st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Gunakan Girsanov Theorem untuk membuktikan:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

Apa yang saya coba:

Karena memenuhi kondisi Novikov,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

adalah martingale.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Oleh Girsanov Theorem,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Saya kira kita memiliki adalah standar -Brownian Motion jika kita dapat menunjukkan bahwa$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Saya kehilangan catatan saya, tapi saya pikir saya bisa menunjukkan menggunakan lemma Ito itu

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

Dari yang saya simpulkan itu

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Apakah itu benar?

(Melihat pertanyaan dan notasi yang digunakan lebih dekat, formulasi tampaknya bermasalah di beberapa tempat.)

Fakta Umum

Biarkan menjadi gerakan standar Brown sehubungan dengan filtrasi . Pertimbangkan didefinisikan oleh Secara umum, adalah super martingale. Dalam beberapa kondisi (misalnya kondisi Novikov), adalah martingale dan orang dapat menentukan ukuran probabilitas oleh Di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringan$W$$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$$(L_t)_{t \in [0,T]}$

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$$L_t$$\mathbb{Q}$ $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Indikasi informal mengapa ini benar adalah sebagai berikut. Pertimbangkan . Menurut teorema Bayes, adalah -martingale jika dan hanya jika adalah -martingale. Sejak$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$$L W^{\lambda}$$\mathbb{P}$

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ kita harus memiliki , agar menjadi -Merupakan gerakan Brown.$\lambda = - \psi$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$

Harga Diskon sebagai Kerapatan Probabilitas

Asumsi implisit adalah bahwa ada aset dasar yang harganya mengikuti bawah ukuran netral risiko . Proses kurs pendek dan volatilitas disesuaikan dengan keteraturan yang cukup sehingga integral ada. (Agar ini benar, filtrasi Brown yang dihasilkan oleh bawah ukuran netral risiko harus sama dengan yang dihasilkan oleh gerak Brown fisik di bawah ukuran fisik, sehingga Teorema Representasi Martingale berlaku.)$S_t$

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ $\mathbb{P}$$(r_t)$$\sigma_t$$(W_t)$

Dalam pengaturan penyaringan Brown ini, untuk setiap waktu - klaim , dinamika risiko netral dari harganya mengambil bentuk Proses adalah volatilitas pengembalian , di bawah ukuran fisik dan risiko-netral.$T$$X_T$$X_t$

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ $(\psi_t)$$X_t$

Dengan kata lain, dinamika netral-risiko dari harga diskon diberikan oleh (Harga diskon setiap claim harus mengikuti martingale dengan ukuran netral risiko, tanpa arbitrage.)$M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ $T$

Jika kondisi Novikov berlaku, maka mendefinisikan kepadatan Radon-Nikodym Di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringan .$L_T = \frac{M_T}{M_0}$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

Dengan kata lain, pembayaran diskon dari setiap -claim , dinormalisasi oleh waktunya- harga , dapat dianggap sebagai kepadatan Radon-Nikodym dari ukuran . Di bawah , gerakan Brown-netral-risiko sekarang telah melayang karena volatilitas pengembalian .$e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$$T$$X_T$$0$$X_0$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\frac{d X_t}{X_t}$

Jika adalah harga aset yang diperdagangkan, maka adalah -martingale. Ini menyiratkan bahwa adalah -martingale.$(Y_t)$$e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$$\mathbb P$$(\frac{Y_t}{X_t})$$\mathbb Q$

Maju Mengukur

Ukuran maju adalah kasus khusus dari atas mana adalah waktu- harga obligasi zero coupon jatuh tempo pada . Secara khusus, . Dalam ungkapan adalah volatilitas pengembalian pada obligasi kupon nol.$X_t = P(t,T)$$t$$T$$X_T = P(T,T) = 1$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$

(Jika bersifat deterministik, maka , dan ukuran forward sama dengan ukuran netral risiko. Ikatan zero-kupon adalah aset berisiko hanya ketika kurs jangka pendek bersifat stokastik.)$(r_t)$$\xi = 0$

Ukuran yang sesuai didefinisikan oleh Karena maka dari diskusi umum di atas bahwa, di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringan .$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(Dalam pertanyaan yang diposting, martingale harus . Ini adalah harga aset diskon yang merupakan martingales di bawah ukuran risiko-netral.)$M_t$$\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Komentar empiris

Ukuran forward memiliki properti yang harga forward membentuk -martingale.$\mathbb Q$$\mathbb Q$

Misalkan adalah harga ke depan dari kontrak forward masuk pada dengan jatuh tempo . Dengan no-arbitrage (paritas maju-maju, dalam hal ini) yang, setelah didiskontokan, adalah -martingale. Jadi adalah -martingale.$F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

Karena harga forward bergerak berbanding terbalik dengan . Ukuran maju menggeser massa probabilitas ke arah keadaan di mana pengembalian diskon dari kupon kupon nol tinggi, sedemikian rupa sehingga menangkal pergerakan di dan menjaga ekspektasi (kondisional) konstan.

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$