Tunjukkan bahwa adalah forward- -Brownian

8

Definisi dan hal-hal:

Pertimbangkan ruang probabilitas yang difilter mana(Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Ini adalah ukuran risiko-netral .

  1. Ft=FtW=FtW~

di mana adalah standar -Pergerakan brownian.W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T]P=P~

Pertimbangkan manaM={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Tentukan ukuran maju :Q

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

di mana adalah proses kurs pendek dan adalah harga obligasi pada waktu t.{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T]

Dapat ditunjukkan bahwa adalah a martingale di mana dinamika harga obligasi diberikan sebagai:{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt

dimana

  1. rt dan adalah diadaptasiξtFt

  2. ξt memenuhi kondisi Novikov (saya tidak berpikir seharusnya mewakili sesuatu yang khusus)ξt


Masalah:

Tentukan proses stokastik stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ:=Wt0tξsds

Gunakan Girsanov Theorem untuk membuktikan:

WtQ is standard Q -Brownian motion.

Apa yang saya coba:

Karena memenuhi kondisi Novikov,ξt

0Tξtdt< a.s.  0Tξtdt< a.s.

Lt:=exp(0t(ξsdWs)120tξs2ds)

adalah martingale.(Ft,P)

Oleh Girsanov Theorem,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Saya kira kita memiliki adalah standar -Brownian Motion jika kita dapat menunjukkan bahwaWtQQ

LT=dQdP

Saya kehilangan catatan saya, tapi saya pikir saya bisa menunjukkan menggunakan lemma Ito itu

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

Dari yang saya simpulkan itu

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=Mt

LT=MT

QED

Apakah itu benar?

BCLC
sumber
Mengapa harga obligasi didiskontokan oleh kurs pendek P-martingale? Harga obligasi Anda adalah GBM umum. Menulisnya sebagai eksponensial dari difusi Ito, orang harus melihat bahwa diskon dengan kurs pendek tidak memperhitungkan koreksi Ito.
Michael
@ Michael, apakah Anda yakin maksud Anda P dalam risiko netral dan bukan P seperti di dunia nyata?
BCLC
Ok aku paham. Jika Anda memecahkan SDE untuk sebagai eksponensial Ito kemudian menggantikannya dengan , Anda akan melihat bahwa teorema Girsanov langsung berlaku. Juga, dan tidak sama dalam pengaturan Ito. Dalam argumen Anda, seseorang harus memohon keunikan solusi kuat dari SDE sebagai gantinya. PtMTdLLdlnL
Michael
@Michael, terima kasih! Bagian mana dari argumen itu tepatnya?
BCLC

Jawaban:

4

(Melihat pertanyaan dan notasi yang digunakan lebih dekat, formulasi tampaknya bermasalah di beberapa tempat.)

Fakta Umum

Biarkan menjadi gerakan standar Brown sehubungan dengan filtrasi . Pertimbangkan didefinisikan oleh Secara umum, adalah super martingale. Dalam beberapa kondisi (misalnya kondisi Novikov), adalah martingale dan orang dapat menentukan ukuran probabilitas oleh Di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringanW(Ft)t[0,T](Lt)t[0,T]

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
Lt=e0tψsdWs120tψs2dsLtQ
dQdP=LT.
Q
WtQ=Wt0tψsds
(Ft)t[0,T] .

Indikasi informal mengapa ini benar adalah sebagai berikut. Pertimbangkan . Menurut teorema Bayes, adalah -martingale jika dan hanya jika adalah -martingale. SejakWtλ=Wt+0tλsdsWλQLWλP

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
kita harus memiliki , agar menjadi -Merupakan gerakan Brown.λ=ψWλQ

Harga Diskon sebagai Kerapatan Probabilitas

Asumsi implisit adalah bahwa ada aset dasar yang harganya mengikuti bawah ukuran netral risiko . Proses kurs pendek dan volatilitas disesuaikan dengan keteraturan yang cukup sehingga integral ada. (Agar ini benar, filtrasi Brown yang dihasilkan oleh bawah ukuran netral risiko harus sama dengan yang dihasilkan oleh gerak Brown fisik di bawah ukuran fisik, sehingga Teorema Representasi Martingale berlaku.)St

dStSt=rtdt+σtdWt
P(rt)σt(Wt)

Dalam pengaturan penyaringan Brown ini, untuk setiap waktu - klaim , dinamika risiko netral dari harganya mengambil bentuk Proses adalah volatilitas pengembalian , di bawah ukuran fisik dan risiko-netral.TXTXt

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
(ψt)Xt

Dengan kata lain, dinamika netral-risiko dari harga diskon diberikan oleh (Harga diskon setiap claim harus mengikuti martingale dengan ukuran netral risiko, tanpa arbitrage.)Mt=e0trsdsXt

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
T

Jika kondisi Novikov berlaku, maka mendefinisikan kepadatan Radon-Nikodym Di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringan .LT=MTM0

dQdP=LT.
Q
Wt0tψsds
(Ft)t[0,T]

Dengan kata lain, pembayaran diskon dari setiap -claim , dinormalisasi oleh waktunya- harga , dapat dianggap sebagai kepadatan Radon-Nikodym dari ukuran . Di bawah , gerakan Brown-netral-risiko sekarang telah melayang karena volatilitas pengembalian .e0TrsdsXTTXT0X0QQdXtXt

Jika adalah harga aset yang diperdagangkan, maka adalah -martingale. Ini menyiratkan bahwa adalah -martingale.(Yt)e0trsdsYtP(YtXt)Q

Maju Mengukur

Ukuran maju adalah kasus khusus dari atas mana adalah waktu- harga obligasi zero coupon jatuh tempo pada . Secara khusus, . Dalam ungkapan adalah volatilitas pengembalian pada obligasi kupon nol.Xt=P(t,T)tTXT=P(T,T)=1

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt

(Jika bersifat deterministik, maka , dan ukuran forward sama dengan ukuran netral risiko. Ikatan zero-kupon adalah aset berisiko hanya ketika kurs jangka pendek bersifat stokastik.)(rt)ξ=0

Ukuran yang sesuai didefinisikan oleh Karena maka dari diskusi umum di atas bahwa, di bawah , proses adalah gerakan standar Brown sehubungan dengan penyaringan .Q

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
dLtLt=ξtdWt,
Q
Wt0tξsds
(Ft)t[0,T]

(Dalam pertanyaan yang diposting, martingale harus . Ini adalah harga aset diskon yang merupakan martingales di bawah ukuran risiko-netral.)Mte0trsdsP(t,T)P(0,T)

Komentar empiris

Ukuran forward memiliki properti yang harga forward membentuk -martingale.QQ

Misalkan adalah harga ke depan dari kontrak forward masuk pada dengan jatuh tempo . Dengan no-arbitrage (paritas maju-maju, dalam hal ini) yang, setelah didiskontokan, adalah -martingale. Jadi adalah -martingale.F(t,T)tT

F(t,T)P(t,T)=St
PF(t,T)Q

Karena harga forward bergerak berbanding terbalik dengan . Ukuran maju menggeser massa probabilitas ke arah keadaan di mana pengembalian diskon dari kupon kupon nol tinggi, sedemikian rupa sehingga menangkal pergerakan di dan menjaga ekspektasi (kondisional) konstan.

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)

Michael
sumber
Terima kasih. sooooo aku benar? atau tidak?
BCLC
1
Nah, ada beberapa celah dalam argumen Anda. 1. Kondisi Novikov tidak dikutip dengan benar. 2. Proses kepadatan RN yang dimaksudkan tidak didefinisikan dengan benar. 3. Setelah lemma Ito digunakan, mengambil log baik-baik saja tetapi hasilnya sudah mengikuti dari keunikan solusi untuk SDE. Mt
Michael
K, terima kasih Michael!
BCLC