Bagaimana saya bisa mendapatkan fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas dari fungsi CES?

Dalam sebagian besar buku teks Ekonomi Mikro disebutkan bahwa fungsi produksi Konstan Elastisitas Pengganti (CES),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(di mana elastisitas substitusi adalah ), memiliki batas fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas. Secara khusus,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

dan

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Tetapi mereka tidak pernah memberikan bukti matematika untuk hasil ini.

Bisakah seseorang memberikan bukti-bukti ini?

Selain itu, fungsi CES di atas menggabungkan konstan-kembali-ke-skala (homogenitas derajat satu), karena eksponen luar menjadi $-1/\rho$ . Jika ya, katakan $-k/\rho$ , maka tingkat homogenitasnya adalah $k$ .

Bagaimana hasil pembatas terpengaruh jika $k\neq 1$ ?

Bukti yang akan saya sajikan didasarkan pada teknik yang relevan dengan fakta bahwa fungsi produksi CES memiliki bentuk rata-rata tertimbang secara umum .
Ini digunakan dalam kertas asli di mana fungsi CES diperkenalkan, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Substitusi modal-tenaga kerja dan efisiensi ekonomi. Tinjauan Ekonomi dan Statistik, 225-250.
Para penulis di sana merujuk pembaca mereka ke buku Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952). Ketidaksetaraan , bab .$2$

Kami menganggap kasus umum

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Batasi ketika$\rho \rightarrow \infty$ Karena kami tertarik pada batas ketika kita dapat mengabaikan interval , dan memperlakukan sebagai benar-benar positif. ρ → ∞ ρ ≤ 0 ρ
$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Tanpa kehilangan umum, anggap . Kami juga memiliki . Kemudian kami memverifikasi bahwa ketidaksetaraan berikut berlaku:K , L > $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

dengan menaikkan seluruh ke kekuatan untuk mendapatkan$\rho/k$

(1

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ yang memang memegang, jelas, dengan asumsi. Kemudian kembali ke elemen pertama dan$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

yang mengapit istilah tengah dalam hingga , jadi( 1 / L k$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Jadi untuk kita mendapatkan fungsi produksi Leontief dasar.$k=1$

2) Batasi ketika$\rho \rightarrow 0$
Tulis fungsi menggunakan eksponensial sebagai

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Pertimbangkan ekspansi Maclaurin orde pertama (ekspansi Taylor berpusat pada nol) dari istilah di dalam logaritma, sehubungan dengan :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Masukkan ini kembali ke dan singkirkan eksponensial luar,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

Dalam kasus itu buram, tentukan dan tulis ulang$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Sekarang memang terlihat seperti ekspresi yang batasnya tak terbatas akan memberi kita sesuatu yang eksponensial:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Tingkat homogenitas dari fungsi dipertahankan, dan jika kita memperoleh fungsi Cobb-Douglas.k = $k$$k=1$

Itu hasil terakhir ini yang membuat panah dan Co untuk memanggil "distribusi" parameter dari fungsi CES.$a$

Metode reguler untuk mendapatkan Cobb-Douglas dan Leotief adalah aturan L'Hôpital .

Metode lain juga harus digunakan. Pengaturan akan kembali dan Dengan Total turunan melalui diferensial kita akan memiliki Dengan beberapa manipulasi, persamaan utama kami akan diperoleh.Q = [ a K - ρ + ( 1 - a ) L - ρ ] - $\gamma=1$ Q-ρ=[aK-ρ+(1-a)L-ρ]-ρQ-ρ-1dQ=-aρK-ρ-1dK-(1-a)ρL-ρ-1d$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Fungsi Linier :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Fungsi Cobb-Douglas : Mengambil Integral dari kedua sisi akan menghasilkan

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Fungsi Leontief :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$