Bagaimana saya bisa mendapatkan fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas dari fungsi CES?

22

Dalam sebagian besar buku teks Ekonomi Mikro disebutkan bahwa fungsi produksi Konstan Elastisitas Pengganti (CES),

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(di mana elastisitas substitusi adalah ), memiliki batas fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas. Secara khusus,σ=11+ρ,ρ>1

limρQ=γmin{K,L}

dan

limρ0Q=γKaL1a

Tetapi mereka tidak pernah memberikan bukti matematika untuk hasil ini.

Bisakah seseorang memberikan bukti-bukti ini?

Selain itu, fungsi CES di atas menggabungkan konstan-kembali-ke-skala (homogenitas derajat satu), karena eksponen luar menjadi 1/ρ . Jika ya, katakan -k/ρ , maka tingkat homogenitasnya adalah k .

Bagaimana hasil pembatas terpengaruh jika k1 ?

Huseyin
sumber
3
Hal ini tampaknya menjadi sebuah pertanyaan PR tanpa usaha sebelum pemecahan itu, lihat: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/...
FooBar
1
Ini tentu saja merupakan topik pembicaraan, tetapi pertanyaan berkualitas rendah . Sekalipun itu bukan pekerjaan rumah Huseyin, kami berharap dari Anda untuk a) Berhati-hatilah dengan notasi Anda (Anda menggunakan ρ dan hal ) dan b) Berkontribusi beberapa pemikiran dan cara Anda telah mencoba menyelesaikan masalah. Kami di sini untuk membantu orang yang membantu diri mereka sendiri , dan tidak menawarkan layanan profesional pro bono.
Alecos Papadopoulos
2
Matematika melakukan berbagai hal secara berbeda hingga hampir seluruh jaringan stackexchange. Hanya di math.se Anda dapat mengajukan masalah untuk diselesaikan orang lain tanpa menunjukkan usaha. Harap simpan pertanyaan semacam itu untuk math.se, tidak di sini.
EnergyNumbers
2
Ketika Anda mengatakan "Saya perlu membuktikan" tanpa indikasi mengapa Anda perlu membuktikannya, orang akan menganggap ini adalah pekerjaan rumah.
Steven Landsburg
1
@Huseyin Sekarang pertanyaan telah dibuka kembali dan jawaban telah disediakan, tidakkah Anda akan memposting jawaban Anda untuk batas Cobb-Douglas?
Alecos Papadopoulos

Jawaban:

22

Bukti yang akan saya sajikan didasarkan pada teknik yang relevan dengan fakta bahwa fungsi produksi CES memiliki bentuk rata-rata tertimbang secara umum .
Ini digunakan dalam kertas asli di mana fungsi CES diperkenalkan, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Substitusi modal-tenaga kerja dan efisiensi ekonomi. Tinjauan Ekonomi dan Statistik, 225-250.
Para penulis di sana merujuk pembaca mereka ke buku Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952). Ketidaksetaraan , bab .2

Kami menganggap kasus umum

Qk=γ[SebuahK-ρ+(1-Sebuah)L.-ρ]-kρ,k>0

γ-1Qk=1[Sebuah(1/Kρ)+(1-Sebuah)(1/L.ρ)]kρ

1) Batasi ketikaρ Karena kami tertarik pada batas ketika kita dapat mengabaikan interval , dan memperlakukan sebagai benar-benar positif. ρ ρ 0 ρ
ρρ0ρ

Tanpa kehilangan umum, anggap . Kami juga memiliki . Kemudian kami memverifikasi bahwa ketidaksetaraan berikut berlaku:K , L > 0KL.(1/Kρ)(1/L.ρ)K,L.>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

dengan menaikkan seluruh ke kekuatan untuk mendapatkanρ/k

(1)

(2)(1-Sebuah)(1/L.ρ)Sebuah(1/Kρ)+(1-Sebuah)(1/L.ρ)(1/L.ρ)
yang memang memegang, jelas, dengan asumsi. Kemudian kembali ke elemen pertama dan(1)

limρ(1-Sebuah)k/ρ(1/L.k)=(1/L.k)

yang mengapit istilah tengah dalam hingga , jadi( 1 / L k )(1)(1/L.k)

(3)limρQk=γ1/L.k=γL.k=γ[min{K,L}]k

Jadi untuk kita mendapatkan fungsi produksi Leontief dasar.k=1

2) Batasi ketikaρ0
Tulis fungsi menggunakan eksponensial sebagai

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Pertimbangkan ekspansi Maclaurin orde pertama (ekspansi Taylor berpusat pada nol) dari istilah di dalam logaritma, sehubungan dengan :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1-ρSebuahdiK-ρ(1-Sebuah)diL.+HAI(ρ2)=1+ρ[diK-SebuahL.-(1-Sebuah)]+HAI(ρ2)

Masukkan ini kembali ke dan singkirkan eksponensial luar,(4)

γ-1Qk=(1+ρ[diK-SebuahL.-(1-Sebuah)]+HAI(ρ2))-k/ρ

Dalam kasus itu buram, tentukan dan tulis ulangr1/ρ

γ-1Qk=(1+[diK-SebuahL.-(1-Sebuah)]r+HAI(r-2))-kr

Sekarang memang terlihat seperti ekspresi yang batasnya tak terbatas akan memberi kita sesuatu yang eksponensial:

limρ0γ-1Qk=limrγ-1Qk=(exp{diK-SebuahL.-(1-Sebuah)})-k

limρ0Qk=γ(KSebuahL.1-Sebuah)k

Tingkat homogenitas dari fungsi dipertahankan, dan jika kita memperoleh fungsi Cobb-Douglas.k = 1kk=1

Itu hasil terakhir ini yang membuat panah dan Co untuk memanggil "distribusi" parameter dari fungsi CES.Sebuah

Alecos Papadopoulos
sumber
11

Metode reguler untuk mendapatkan Cobb-Douglas dan Leotief adalah aturan L'Hôpital .

Metode lain juga harus digunakan. Pengaturan akan kembali dan Dengan Total turunan melalui diferensial kita akan memiliki Dengan beberapa manipulasi, persamaan utama kami akan diperoleh.Q = [ a K - ρ + ( 1 - a ) L - ρ ] - 1γ=1 Q-ρ=[aK-ρ+(1-a)L-ρ]-ρQ-ρ-1dQ=-aρK-ρ-1dK-(1-a)ρL-ρ-1dLQ=[SebuahK-ρ+(1-Sebuah)L.-ρ]-1ρ

Q-ρ=[SebuahK-ρ+(1-Sebuah)L.-ρ]
-ρQ-ρ-1dQ=-SebuahρK-ρ-1dK-(1-Sebuah)ρL.-ρ-1dL.

dQ=Sebuah(QK)1+ρdK+(1-Sebuah)(QL.)1+ρdL.

Fungsi Linier :limρ-1dQQ=SebuahK+(1-Sebuah)L.

Fungsi Cobb-Douglas : Mengambil Integral dari kedua sisi akan menghasilkan

limρ0dQ1QdQ=Sebuah(1K)dK+(1-Sebuah)(1L.)dL.

1QdQ=Sebuah(1K)dK+(1-Sebuah)(1L.)dL.

Q=KSebuahL.(1-Sebuah)eC=SEBUAHKSebuahL.(1-Sebuah)

Fungsi Leontief :limρdQmin(aK,(1a)L)

Huseyin
sumber
1
(+1) Saya suka terutama bagaimana fungsi Cobb-Douglas diperoleh.
Alecos Papadopoulos
Terima kasih @AlecosPapadopoulos. tapi saya tidak tahu mengapa beberapa orang membuat tidak suka posting ini? Saya pikir jenis pertanyaan ini dapat memberikan badai otak setidaknya bagi saya.
Huseyin
1
Sebenarnya, Huseyin, mereka benar: Anda seharusnya memasukkan setidaknya sebagian dari jawaban Anda dalam pertanyaan Anda : "Inilah cara saya melakukan sesuatu, apakah ada cara lain?"
Alecos Papadopoulos
Apakah mengambil diferensial dan mengintegrasikan "setara" dengan mengambil batas? Secara umum, dapatkah kita mengambil diferensial dan berintegrasi untuk menemukan batasan? Atau ini aplikasi khusus?
PGupta