Pasar Lengkap dalam Waktu Berkala

Dalam ekonomi waktu diskrit standar dengan sejumlah negara terbatas, $n$ , ekonomi pasar lengkap hanyalah ekonomi dengan $n$ aset independen (Pikirkan Ljunqvist dan Sargent Bab 8). Ini karena $n$ aset independen cukup untuk menjangkau rangkaian negara bagian besok.

Saya berdiskusi dengan seorang profesor minggu lalu di mana ia menyatakan bahwa salah satu kemudahan waktu berkesinambungan ketika memikirkan penetapan harga aset adalah bahwa dalam ekonomi waktu berkelanjutan seseorang dapat memperoleh pasar lengkap hanya dengan ikatan bebas risiko dan aset berisiko ( independen) untuk setiap gerakan Brown dalam ekonomi.

Dia menjelaskannya ketika kami berbicara, jadi saya pikir saya sebagian besar memahaminya, tetapi bertanya-tanya apakah seseorang akan keberatan menuliskan rinciannya?

Saya mungkin akan menghabiskan satu atau dua hari minggu ini di atasnya (tergantung pada beberapa sifat kalkulus diferensial), jadi jika tidak ada orang lain yang menjawab pertanyaan, semoga saya dapat memberikan jawaban yang memuaskan.

Saya adalah orang terakhir yang harus menjawab pertanyaan waktu terus menerus seperti ini, tetapi jika tidak ada orang lain saya kira saya akan mencobanya. (Setiap koreksi dari keuangan kontinu yang samar-samar kuingat sangat diterima.)

Kesan saya selalu bahwa ini paling baik ditafsirkan sebagai konsekuensi dari teorema representasi martingale . Namun, pertama-tama, saya secara longgar akan membuat beberapa notasi. Biarkan ruang probabilitas dihasilkan oleh proses Wiener independen ( Z 1 t , ... , Z n t ) . Biarlah ada n + 1 aset, dimana nilai i aset th di t diberikan oleh S i t . Asumsikan bahwa aset i = 0 adalah ikatan bebas risiko d S $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$, sementara aseti=1,…,nmasing-masing berisiko dan didorong olehZ i t yang sesuai: dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t asumsikan ada ketat positif proses SDFmtdinormalisasi untukm0=1, sehinggam$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ adalah martingale untuk setiap i (pada dasarnya definisi SDF) dan di mana d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t (saya menggunakan ⋅ sebagai dot product, yang akan menjadi nyaman.)$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Akhirnya, biarkan vektor dimensi θ t menjadi portofolio kita pada waktu t , sehingga kekayaan bersih A t diberikan oleh A t = θ t ⋅ S t . Asumsikan A 0 adalah tetap dan bahwa lebih jauh kita memiliki d A t = θ t ⋅ d S t Sekarang saya akan menyatakan tujuan, yang menangkap esensi dari pasar lengkap. Misalkan dunia berakhir pada waktu T , dan kita menginginkan nilai bersih A $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$menyamai stokastik tertentu , yang dapat bergantung pada sejarah penuh sampai waktu T . Misalkan A 0 = E 0 [ m T Y ] , sehingga dalam dunia dengan pasar lengkap kita bisa (di t = 0 ) menggunakan kami awal kekayaan A 0 untuk membeli waktu t = T payout Y . Dengan tidak adanya pasar lengkap langsung ini, pertanyaannya adalah apakah ada namun beberapa strategi untuk portofolio θ t yang akan memungkinkan kita untuk mendapatkan A $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ di semua negara di dunia. Dan jawabannya, dalam pengaturan ini, adalah ya.$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Saya sudah lama ingin memposting ini. Saya menemukan ini dan berpikir itu bisa menambah wawasan. Contoh ini dari "Teori Harga Aset Keuangan" oleh Munk.

Perhatikan gambar berikut. Berapa banyak aset yang kita butuhkan untuk memiliki pasar yang lengkap?

$N$$N$

(i) ketidakpastian tidak diungkapkan sepenuhnya secara bersamaan, tetapi sedikit demi sedikit, dan (ii) kita dapat berdagang secara dinamis dalam aset. Dalam contoh tersebut ada tiga kemungkinan transisi ekonomi dari waktu 0 ke waktu 1. Dari analisis satu periode kami, kami tahu bahwa tiga aset yang cukup berbeda cukup untuk 'merentangkan' ketidakpastian ini. Dari waktu 1 ke waktu 2 ada dua, tiga, atau satu kemungkinan transisi ekonomi, tergantung pada kondisi ekonomi saat itu. 1. Paling-paling, kita membutuhkan tiga aset yang cukup berbeda untuk mengatasi ketidakpastian selama periode ini. Secara total, kami dapat menghasilkan proses dividen apa pun jika kami hanya memiliki akses ke tiga aset yang cukup berbeda di kedua periode.

Dalam kasus versi pohon multinomial umum dari pasar waktu diskrit-negara yang lebih umum, kita dapat untuk setiap node di pohon menentukan angka spanning sebagai jumlah cabang dari subtree yang meninggalkan node tersebut. Pasar kemudian selesai jika, untuk setiap simpul di pohon, jumlah aset yang diperdagangkan secara linier independen selama periode berikut ini sama dengan jumlah span.

Sekarang, dalam kasus model waktu kontinu di mana ketidakpastian dihasilkan oleh gerakan Brown standar d-dimensi, argumennya rumit, tetapi Munk memberikan beberapa wawasan berdasarkan diskusi sebelumnya.

Hasilnya cukup intuitif mengingat pengamatan berikut:

1. Untuk perubahan kontinu dalam sekejap, hanya perbedaan berarti dan varians.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Dengan perdagangan berkelanjutan, kami dapat menyesuaikan eksposur kami terhadap guncangan eksogen di setiap saat.

$d+1$$d+1$