Dapatkah modal masih dibayarkan produk marjinalnya tanpa adanya persediaan modal yang homogen?

Buku terlaris Thomas Piketty tentang ketimpangan, "Capital in the Twenty-First Century" telah menarik banyak kritik tentang hak untuk analisis datanya. Namun, yang kurang terkenal adalah kritik yang didapat dari para ekonom di Kiri. Piketty menggunakan fungsi produksi agregat, di mana modal diwakili oleh nomor tunggal K. Ini adalah hal yang cukup standar untuk dilakukan dalam ekonomi arus utama, tetapi kembali pada tahun 1960 ada perdebatan besar dalam ekonomi yang disebut Kontroversi Modal Cambridge, berputar di sekitar fakta bahwa modal itu heterogen dan karenanya mungkin tidak sah untuk mewakilinya dengan satu angka. Jadi beberapa ekonom berpendapat bahwa banyak kesimpulan standar dalam para ekonom, seperti gagasan bahwa modal dibayar produk marjinalnya, cacat.

Paul Krugman tidak setuju dengan kritik terhadap ekonomi arus utama ini, jadi dalam blog ini dia membela Piketty dari tuduhan bahwa kesimpulannya bergantung pada asumsi persediaan modal yang homogen:

Hal yang perlu diingat, bagaimanapun, adalah bahwa Anda benar-benar tidak perlu menolak ekonomi standar untuk menjelaskan ketidaksetaraan yang tinggi atau menganggapnya hal yang buruk.

Ada beberapa ekonom di sebelah kiri yang tampaknya percaya bahwa:

1. Anda perlu meyakini adanya ukuran agregat modal yang terdefinisi dengan sempurna untuk meyakini teori produktivitas marjinal distribusi pendapatan;
2. Jika Anda percaya pada, atau bahkan menggunakan, teori produktivitas marjinal, Anda mengakui bahwa kapitalis pantas mendapatkan penghasilan mereka.

Tidak satu pun dari hal-hal ini yang benar. Tidak ada satu pun tentang teori produktivitas marjinal yang bergantung pada kebenaran yang tepat dari fungsi produksi agregat sederhana dengan modal yang ditentukan oleh satu angka. Dan mengatakan bahwa modal mendapatkan produk marjinalnya sama sekali tidak mengatakan bahwa orang yang memiliki modal itu pantas mendapatkan apa yang mereka dapatkan.

Pertanyaan saya adalah tentang pernyataan dalam huruf tebal, di mana Krugman mengatakan bahwa Anda masih bisa mendapatkan kesimpulan dari teori produktivitas marjinal tanpa mengasumsikan bahwa modal dapat digambarkan dengan satu angka.

Jadi pertanyaan saya adalah, apa dasar dari pernyataan Krugman? Dapatkah seseorang mengarahkan saya ke bukti pernyataan "modal dibayar produk marjinalnya" yang tidak bergantung pada modal homogen?

Tidak ada satu pun tentang teori produktivitas marjinal yang bergantung pada kebenaran yang tepat dari fungsi produksi agregat sederhana dengan modal yang ditentukan oleh satu angka

Berbagai jenis modal yang digunakan sebagai teknologi produksi terpisah mencegah agregasi bersih menjadi bentuk modal yang representatif tetapi tidak mencegah modal dibayar dari produk marjinalnya.

$k_1$$k_2$$y$$y_1$$y_2$$y_1 = k_{1}^{\alpha_1}$$y_2 = k_{2}^{\alpha_2}$$y$

$$y = k_{1}^{\alpha_1} + k_{2}^{\alpha_2}$$ $0 < \alpha_1 < \alpha_2 < 1$$r_1$$r_2$$i$: $$\alpha_i \cdot k_{i}^{\alpha_i - 1} = r_i\Rightarrow k_{i}^{*} = (r_i/\alpha_i)^{1/(\alpha_i - 1)}$$

$k$$k=k_1 + k_2$$r_1 = r_2$