Fungsi Produksi CES dengan

10

Dalam menggunakan fungsi produksi CES dari bentuk $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , kami selalu menganggap bahwa $\rho\leq1$ . Mengapa kita membuat asumsi itu? Saya mengerti bahwa jika $\rho>1$ , fungsi produksi tidak akan cekung lagi (dan karenanya set produksi tidak akan menjadi cembung), tetapi apa artinya ini mengenai fungsi laba dan biaya?

microeconomics mathematical-economics production-function producer-theory Sher Afghan
sumber

3

ρ

$\rho$ atas satu akan menghasilkan solusi sudut di mana hanya satu input dipilih dengan kuantitas positif. Karena fungsi multi-fungsi produksi biasanya untuk memodelkan keadaan di mana dua input sebenarnya digunakan, ini adalah fitur yang tidak diinginkan.

BKay

Apakah akan ada solusi untuk masalah laba maks?

Sher Afghan

@SherAfghan, fungsi linear dengan

ρ = 1

$\rho = 1$ tampaknya tidak berada dalam keluarga CES, karena elastisitas substitusi tidak konstan.

garej

3

Masalah dengan adalah bahwa itu berarti produk marginal faktor tidak menurun ( ) atau konstan ( ) tetapi meningkat, yang merupakan asumsi aneh. Fungsi-fungsi tersebut menghasilkan isokuan yang cekung, dan mungkin hanya menyebabkan satu faktor yang digunakan (seperti yang dikatakan BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Seperti pada CES generik apa pun, produk marginal dari faktor adalah $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Turunan dari MP ini sehubungan dengan adalah, setelah beberapa menata ulang, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Untuk , ungkapan ini positif, yang berarti bahwa produktivitas suatu faktor meningkat karena lebih banyak faktor yang digunakan. $\rho>1$

Mengenai isokuan, Anda dapat menemukannya dengan menulis ulang fungsi produksi sebagai . Dalam CES generik, ini $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

$\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

$(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Kode untuk mereproduksi gambar di sini )

luchonacho
sumber

3

Ini adalah usaha saya untuk pertanyaan ini, tidak lengkap dan / atau salah jadi tolong bantu membuat saran dan saya akan mengedit ini.

Minimalisasi Biaya

$f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

$f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

Sher Afghan
sumber

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

Apakah solusi untuk masalah maksimalisasi laba ada juga tergantung pada struktur pasar. Masalah maksimisasi laba perusahaan monopoli biasanya masih terdefinisi dengan baik, sedangkan untuk perusahaan yang mengambil harga tidak demikian.

HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Untuk melihat efek yang sama dalam contoh yang lebih sederhana ( bukan berasal dari CES), pertimbangkan ini:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC adalah . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Perhatikan tetapi tidak, katakanlah, seperti biasa. Mari kita bandingkan kedua kasus untuk pada plot untuk menghargai perbedaannya. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

garej
sumber

Fungsi Produksi CES dengan

Jawaban: