Keputusan atas fungsi produksi "maks":

4

Saya telah disajikan dengan masalah berikut:

$$ y = 3 (x_3) ^ {\ frac13} (\ max \ {x_1,8x_2 \}) ^ {\ frac13} $$

Dan tujuannya adalah untuk memaksimalkan laba dan meminimalkan biaya. Pertama-tama, jika masalahnya ganda, apakah itu berarti hasilnya akan sama dalam variabel seperti permintaan?

MASIH, MASALAH TERBESAR SAYA ADALAH INI: Ketika Anda menyingkirkan maks , ini menjadi sepotong kue Cobb Douglas. Tapi saya tidak mengerti bagaimana melakukan itu. Sejauh ini, yang saya punya adalah bahwa fungsi ini memungkinkan solusi sudut, jadi itu tidak diselesaikan seperti fungsi Leontieff. Bagaimana Anda memilih masing-masing barang? Saya juga yakin itu ada hubungannya dengan harga input $ w_1 $ dan $ w_2 $

production-function cost profit-maximization cost-functions mudcake
sumber

Jawaban:

4

Petunjuk

Untuk maksimalisasi laba, $ x_1 $ atau $ x_2 $ (tetapi tidak keduanya) harus nol. Jika tidak, katakanlah $ x_1 ^ * & gt; x_2 ^ * & gt; 0 $ secara optimal, maka seseorang dapat meningkatkan laba dengan menurunkan biaya dengan mengurangi $ x_2 ^ * $ tanpa memengaruhi output dan pendapatan.

Biarkan $ z = \ maks \ {x_1,8x_2 \} $. Fungsi laba dapat ditulis sebagai \ mulai {persamaan} p [3 (x_3) ^ {1/3} (z) ^ {1/3}] - w_3x_3-c_zz, \ tag1 \ end {persamaan} dimana \ mulai {persamaan} c_z = \ begin {cases} w_1 & amp; \ text {if} x_1 & gt; 8x_2 \\ w_2 / 8 & amp; \ text {jika} x_1 & lt; 8x_2 \\ \ min \ {w_1, w_2 / 8 \} & amp; \ text {if} x_1 = 8x_2 \ end {cases} \ end {persamaan}

Selesaikan $ (1) $ untuk kondisi yang menentukan level optimal $ z $, dan bandingkan biaya untuk mencapai level ini menggunakan $ x_1 $ atau $ x_2 $. Gunakan salah satu yang memerlukan biaya lebih rendah.

Herr K.
sumber
Saya sangat menyukai respons ini, sangat jelas, terima kasih! Namun, bukankah sebaliknya? Anda akan memilih z berdasarkan perbandingan w1 terhadap w2 / 8, atau apakah saya salah? Maksud saya adalah: Anda memutuskan produk setelah mengevaluasi harga, saya tidak yakin bagaimana Anda akan memilih z dan karenanya w untuk digunakan jika Anda tidak tahu apakah x1 atau 8x2 lebih besar. Saya harap Anda dapat membantu saya sekali lagi. Terima kasih!
mudcake
@mudcake: Sama-sama. Dan ya, pada akhirnya, apakah $ x_1 $ atau $ x_2 $ dipilih tergantung pada perbandingan antara $ w_1 $ dan $ w_2 / 8 $. Perhatikan bahwa $ z $ hanyalah placeholder dalam maksimalisasi. Mungkin dengan cara lain, Anda harus membandingkan $$ \ pi_1 = p [3 (x_3) ^ {1/3} (x_1) ^ {1/3}] - w_3x_3-w_1x_1 $$ dengan $$ \ pi_2 = p [3 (x_3) ^ {1/3} (8x_2) ^ {1/3}] - w_3x_3-w_2x_2 $$ dan melihat input mana yang mengarah ke laba yang lebih tinggi. Dua masalah maksimalisasi keuntungan di atas harus langsung dipecahkan dan dibandingkan.
Herr K.