Mengapa fungsi homotetik memiliki rasio konstan produk marginal sepanjang sinar?

2

Pemesanan homothetic didefinisikan sebagai

$ x \ succeq y \ Rightarrow \ lambda x \ succeq \ lambda y \ qquad \ forall \ lambda & gt; 0 $

dimana $ x, y \ in \ mathbb {R} ^ n $

Kemudian, setiap fungsi yang dapat dibedakan mewakili pemesanan memiliki properti

$ \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} (\ lambda x) = k \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} (x) $

dengan $ k, \ lambda & gt; 0 $

Bagaimana hasil ini diturunkan?

Saya bisa melihat bagaimana kita dapat memperoleh properti dari nilai fungsi dari homothety, tetapi tidak tahu bagaimana kita bisa mengatakan apa pun tentang turunannya.

microeconomics production-function producer-theory Chris tie
sumber
1
Bisakah Anda menjelaskan pertanyaan Anda? Berapakah $ k $ dan apa yang sebenarnya Anda maksud dengan "produk marginal relatif"?
denesp
Dengan produk marginal relatif konstan yang saya maksud MRS, pada dasarnya. Saya mengubah "relatif" menjadi "rasio" untuk lebih jelas. Saya menganggap $ k $ sebagai konstanta, tetapi saya tidak yakin. Properti yang dimaksud berasal dari Kamus Ekonomi Palgrave.
Chris tie

Jawaban:

3

Fungsi homotetik dapat dikarakterisasi sebagai berikut: Membiarkan $ f (\ mathbf x) $ , $ \ mathbf x \ in \ mathbb R ^ n $ menjadi fungsi homogen derajat $ r $ . Membiarkan $ g () $ menjadi fungsi dengan $ g '\ neq 0 $ . Kemudian

$$ G (\ mathbf x) = g [f (\ mathbf x)] $$ bersifat homotik. Sejak $ f (\ mathbf x) $ adalah derajat yang homogen $ r $ kita punya itu

$$ f (\ lambda \ mathbf x) = \ lambda ^ rf (\ mathbf x) $$

Kemudian

$$ G (\ lambda \ mathbf x) = g [\ lambda ^ rf (\ mathbf x)] $$ dan sebagainya

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_i} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac {f (x)} {\ partial x_i} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x)} {\ partial x_i} $$

Jelas, kita juga akan memilikinya

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_j} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac {f (x)} {\ partial x_j} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x)} {\ partial x_j} $$

yang mengarah ke "MRS konstan sepanjang sinar" karakterisasi fungsi homotetik,

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x) / \ partial x_i} {\ partial G (\ lambda x) / \ partial x_j} = \ frac {\ partial G (x) / \ partial x_i} {\ partial G (x) / \ partial x_j} $$

(lihat Simon dan Blume 1994, hlm. 503).

Alecos Papadopoulos
sumber
Bisakah Anda mencadangkan karakterisasi fungsi homotetis Anda? Sepertinya $ g $ harus benar-benar naik atau turun, tidak hanya konstan seperti abs $ (\ cdot) $.
denesp
Bisakah Anda juga menjelaskan jika menurut Anda klaim asli itu benar, untuk memastikan kami ada di halaman yang sama.
denesp
@denesp Simon dan Blume (1994) hlm. 500 mendefinisikan fungsi homotetik memang sebagai transformasi monoton fungsi homogen. Tetapi seperti Chiang (1984) hal. 423-424 mencatat, dari sudut pandang matematika kita hanya membutuhkan turunan non-nol, meskipun dalam ekonomi kita membatasi definisi untuk transformasi monoton (dan biasanya turunan sangat positif $ g $) sehingga terus berguna untuk mewakili fenomena ekonomi.
Alecos Papadopoulos
1
Saya kaget dengan $ k $ Anda bisa komentar apa pun. Yang lainnya diambil dengan baik.
denesp
1
Saya berpendapat bahwa seharusnya terlihat seperti ini: $$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_i} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac { f (x)} {\ partial x_i} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x) } {\ partial x_i} $$ Argumen fungsi harus identik untuk mengembalikan aturan rantai. Solusi saat ini menyiratkan bahwa setiap fungsi homotetis adalah homogen, yang tidak demikian.
Chris tie