Konsentrasi Eksponensial Ketimpangan untuk momen tingkat tinggi dari Variabel Acak Gaussian

Misalkan menjadi iid salinan variabel acak Gaussian . Diketahui bahwa $X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$ Dua hasil ini mengikuti dari ketimpangan konsentrasi variabel acak sub-Gaussian dan sub-eksponensial dan yang kedua adalah ketidaksetaraan tipe Bernstein. Saya ingin tahu apakah ada hasil yang sama untuk momen yang lebih tinggi dari variabel acak Gaussian. Bisakah seseorang memiliki

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

Dan lebih umum, untuk variabel acak terpusat

memuaskan

untuk

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$

Y

$Y$

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$

α > 0

$\alpha > 0$ , Bisa kita mendapatkan ketidaksetaraan eksponensial untuk konsentrasi

? Yaitu, dapatkah kita memiliki

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$

untuk beberapa

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$

β > 0

$\beta > 0$

pr.probability st.statistics Steve
sumber

Konsentrasi Eksponensial Ketimpangan untuk momen tingkat tinggi dari Variabel Acak Gaussian

Jawaban: