Jika , jumlah maksimum perbedaan yang berbeda yang bisa Anda dapatkan adalah . Jadi Anda benar-benar perlu untuk tumbuh lebih cepat dari agar ini benar. Apa yang akan saya lakukan adalah mencoba untuk menghitung probabilitas bahwa sejumlah adalah tidak perbedaan. m(m-1)/2<n/2mm = n--√m ( m - 1 ) / 2 < n / 2m dn--√dd= | Sebuahsaya- aj|
Peter Shor
@ Guru: terima kasih, saya memperbarui pertanyaan. Dan memang karena , lebih mudah untuk menghitung perbedaan tertentu . dE (∑ xsaya) = Σ E ( xsaya)d
Zhu Cao
1
@ZhuCao, ketika Anda mengatakan "pilih integer secara acak dari ", distribusi apa yang Anda maksudkan sebenarnya? Saya mengasumsikan seragam iid \ {1, \ dots, n \} . sebuah 1 , . . . , a m [ 1 , n ] { 1 , … , n }mSebuah1, . . . , am[1,n]{1,…,n}
usul
1
@Andras tidak, bukan itu masalahnya. Misalnya, jika angka 1 tidak dipilih (yang terjadi dengan probabilitas dibatasi jauh dari 0) maka perbedaan n−1 tidak dapat muncul, dan Dn<n . Tetapi mengapa harus demikian? Pertanyaannya hanya menanyakan bahwa ekspektasi Dn/n mendekati 1, bukankah Dn sama dengan 1 dengan probabilitas tinggi.
James Martin
2
Tolong jangan posting silang di beberapa situs Stack Exchange. Kebijakan situs kami melarang posting silang secara bersamaan: katanya, minimal, tunggu seminggu. Dan jika Anda tidak mendapatkan jawaban yang baik, Anda selalu dapat memberi tanda untuk perhatian moderator untuk meminta dimigrasi.
DW
Jawaban:
7
Asumsikan seperti yang diberikan bahwa m=ω(n−−√) .
Perbaiki . Kami akan mempertimbangkan dengan . Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa dengan probabilitas tinggi sebagai ,r ∈ [ 1 , n ] r < ( 1 - ϵ ) n n → ∞ rϵ>0r∈[1,n]r<(1−ϵ)nn→∞r termasuk dalam set perbedaan.
Pertama-tama pertimbangkan himpunan . Jumlah dengan sedemikian sehingga adalah binomial dengan harapan sekitar . Jadi dengan probabilitas tinggi sebagai , jumlah tersebut setidaknya akan menjadi , yaitu . Kemudian (klaim, "dibiarkan sebagai latihan", tidak sulit untuk ditampilkan) dengan probabilitas tinggi sebagai , set memiliki ukuran setidaknya . Mari kita menulis untuk "acara bagus" ini, bahwai i < m / 2 a i < ϵ n ϵ m / 2 n → ∞ i ϵ m / 4 ω ( √A={ai:i<m/2}∩[1,ϵn]ii<m/2ai<ϵnϵm/2n→∞iϵm/4n→∞A √ω(n−−√)n→∞A G| A| ≥ √n−−√G|A|≥n−−√ .
Misalkan memang memegang, yaitu setidaknya ada nilai yang berbeda dari kurang dari , untuk . Perhatikan bahwa untuk setiap nilai tersebut, ada nilai yang tepatnya lebih besar. Sekarang perhatikan nilai untuk . Ini adalah independen dan masing-masing memiliki probabilitas setidaknya berada pada jarak dari unsur himpunan . Probabilitas bahwa tidak ada perbedaan yang dihasilkan adalah paling banyak√G aiϵni<m/2k∈[1,n]raii≥m/2 √n−−√aiϵni<m/2k∈[1,n]raii≥m/2 rAr(1-1/ √n−−√/n=1/n−−√rAr n→∞m=ω( √(1−1/n−−√)m/2yang menjadi 0 sebagai sejak . Jadi memang, probabilitas yang dimiliki tetapi tidak ada perbedaan ukuran ada cenderung 0 sebagai .n→∞Grn→∞m=ω(n−−√)Grn→∞
Jadi (seragam dalam ) probabilitas bahwa termasuk dalam set perbedaan cenderung 1 sebagai . Karenanya menggunakan linearitas ekspektasi,
Karena adalah arbitrer, batasnya adalah 1 seperti yang diinginkan.r n → ∞ lim inf n → ∞ E [ # { | a i - a j | , 1 ≤ i , j ≤ m }r<(1−ϵ)nrn→∞ϵ
Jawaban:
Asumsikan seperti yang diberikan bahwam=ω(n−−√) .
Perbaiki . Kami akan mempertimbangkan dengan . Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa dengan probabilitas tinggi sebagai ,r ∈ [ 1 , n ] r < ( 1 - ϵ ) n n → ∞ rϵ>0 r∈[1,n] r<(1−ϵ)n n→∞ r termasuk dalam set perbedaan.
Pertama-tama pertimbangkan himpunan . Jumlah dengan sedemikian sehingga adalah binomial dengan harapan sekitar . Jadi dengan probabilitas tinggi sebagai , jumlah tersebut setidaknya akan menjadi , yaitu . Kemudian (klaim, "dibiarkan sebagai latihan", tidak sulit untuk ditampilkan) dengan probabilitas tinggi sebagai , set memiliki ukuran setidaknya . Mari kita menulis untuk "acara bagus" ini, bahwai i < m / 2 a i < ϵ n ϵ m / 2 n → ∞ i ϵ m / 4 ω ( √A={ai:i<m/2}∩[1,ϵn] i i<m/2 ai<ϵn ϵm/2 n→∞ i ϵm/4 n→∞A √ω(n−−√) n→∞ A G| A| ≥ √n−−√ G |A|≥n−−√ .
Misalkan memang memegang, yaitu setidaknya ada nilai yang berbeda dari kurang dari , untuk . Perhatikan bahwa untuk setiap nilai tersebut, ada nilai yang tepatnya lebih besar. Sekarang perhatikan nilai untuk . Ini adalah independen dan masing-masing memiliki probabilitas setidaknya berada pada jarak dari unsur himpunan . Probabilitas bahwa tidak ada perbedaan yang dihasilkan adalah paling banyak√G aiϵni<m/2k∈[1,n]raii≥m/2 √n−−√ ai ϵn i<m/2 k∈[1,n] r ai i≥m/2 rAr(1-1/ √n−−√/n=1/n−−√ r A r n→∞m=ω( √(1−1/n−−√)m/2 yang menjadi 0 sebagai sejak . Jadi memang, probabilitas yang dimiliki tetapi tidak ada perbedaan ukuran ada cenderung 0 sebagai .n→∞ Grn→∞m=ω(n−−√) G r n→∞
Jadi (seragam dalam ) probabilitas bahwa termasuk dalam set perbedaan cenderung 1 sebagai . Karenanya menggunakan linearitas ekspektasi, Karena adalah arbitrer, batasnya adalah 1 seperti yang diinginkan.r n → ∞ lim inf n → ∞ E [ # { | a i - a j | , 1 ≤ i , j ≤ m }r<(1−ϵ)n r n→∞ ϵ
sumber