Membatasi distribusi

Biarkan menjadi urutan variabel acak iid . Tetapkan dan untuk . Temukan distribusi pembatas dari$(X_n)$$\mathcal N(0,1)$$S_0=0$$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$$n\geq 1$

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Masalah ini berasal dari sebuah buku masalah tentang Teori Probabilitas, dalam bab tentang Central Limit Theorem.

Karena dan independen, dan$S_{k-1}$$X_k$$E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$

Perhatikan bahwa jelas tidak independen. Masalahnya adalah dari Masalah Shiryaev dalam Probabilitas , yang dengan sendirinya didasarkan pada buku teks dari penulis yang sama. Buku teks tampaknya tidak mencakup CLT untuk variabel berkorelasi. Saya tidak tahu apakah ada stasioner, campuran urutan bersembunyi di suatu tempat ...$|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$

Saya telah menjalankan simulasi untuk merasakan jawabannya

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Di bawah ini adalah histogram dari sampel ( ). Itu terlihat terbagi normal ...$2000$$n=20.000$

Ketika saya mensimulasikan distribusi maka saya mendapatkan sesuatu yang menyerupai distribusi Laplace. Bahkan lebih baik tampaknya menjadi q-Gausian (parameter tepat yang harus Anda temukan menggunakan teori).

Saya kira bahwa buku Anda harus mengandung beberapa variasi CLT yang berhubungan dengan itu (teorema limit pusat yang digeneralisasi, mungkin dalam Bagian 7.6 Teorema batas pusat untuk jumlah variabel dependen , tetapi saya tidak dapat mencarinya karena saya tidak memiliki buku yang tersedia).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)