Apakah Teorema Basu membutuhkan kecukupan minimal?

Casella & Berger menyatakan Teorema Basu (Th 6.2.24) sebagai berikut:

Jika adalah statistik lengkap dan minimal yang memadai, maka tidak tergantung pada setiap statistik tambahan.$T(X)$$T(X)$

Namun, dalam kuliah, saya melihat bukti teorema yang hanya menggunakan kecukupan, bukan kecukupan minimal. Buktinya pada dasarnya adalah penerapan hukum probabilitas total.

Wikipedia menyatakan Teorema Basu menggunakan kecukupan dan kelengkapan yang terikat (persyaratan yang lebih lemah dari kelengkapan), yang sesuai dengan dosen saya.

Apa yang terjadi dengan versi Casella-Berger?

Untuk menyadari bahwa kecukupan tidak cukup, pertimbangkan itu, kapan $T(X)$ adalah statistik yang cukup, $(T(X),S(X))$juga merupakan statistik yang cukup. Termasuk case kapan$S(X)$adalah statistik tambahan. Yang berarti bahwa$(T(X),S(X))$ dan $S(X)$ tidak bisa mandiri.