Apakah mean dan varians selalu ada untuk distribusi keluarga eksponensial?

11

Asumsikan skalar variabel acak milik keluarga eksponensial vektor-parameter dengan pdfX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

di mana θ=(θ1,θ2,,θs)T adalah vektor parameter dan T(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T adalah statistik gabungan yang memadai.

Dapat ditunjukkan bahwa mean dan varians untuk setiap Ti(x) ada. Namun, apakah mean dan varians untuk X (yaitu E(X) dan Var(X) ) selalu ada juga? Jika tidak, adakah contoh distribusi keluarga eksponensial dari formulir ini yang rerata dan variabelnya tidak ada?

Terima kasih.

Wei
sumber

Jawaban:

9

Mengambil , , , dan memberikan asalkan , memproduksih ( x ) = 1 η 1 ( θ ) = θ T 1 ( x ) = log ( | x | + 1 ) A ( θ ) = log ( - 2 / ( 1 + θ ) ) θ < - 1s=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Angka

Grafik ditunjukkan untuk (masing-masing dalam warna biru, merah, dan emas).θ = - 3 / 2 , - 2 , - 3fX( |θ)θ=3/2,2,3

Jelas saat-saat absolut dari bobot atau lebih besar tidak ada, karena integrand , yang secara proporsional proporsional dengan , akan menghasilkan integral konvergen pada batas jika dan hanya jika . Khususnya, ketika distribusi ini bahkan tidak memiliki rata-rata (dan tentu saja bukan varian).| x | α f X ( x | θ ) | x | α + θ ± α + θ < - 1 - 2 θ < - 1 ,α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,

whuber
sumber
Saya tidak mengerti kondisi . Apakah maksud Anda ? Ketika , tidak didefinisikan dan negatif dan tidak bisa menjadi pdf Tolong beri tahu saya apa yang saya lewatkan. Terima kasih. θ > - 1 θ < - 1 A ( θ ) f X ( x | θ )θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei
Saya minta maaf, karena tanda minus dihilangkan dalam perhitungan . Saya telah menggantinya dalam formula. Saya benar-benar bermaksud . Aθ<1
whuber
Terima kasih untuk contohnya Saya setuju tentang momen. Bagaimana dengan momen x itu sendiri? Misalnya, ketika - 2 < θ < - 1 dalam contoh Anda di atas, apakah E ( x ) ada? |x|x2<θ<1E(x)
Wei
1
Karena integral Lebesgue didefinisikan dalam hal bagian positif dan negatif dari integrand, momen ada jika dan hanya jika momen | x | ada. x|x|
whuber
@Wei: E{g(X)} hanya ada jika . Tanpa batasan ini, ekspektasi tidak secara unik didefinisikan untuk beberapa CDF. E{|g(X)|}<
Dennis