Kecukupan atau Ketidakcukupan

10

Pertimbangkan sampel acak mana adalah iid variabel acak di mana . Periksa apakah adalah statistik yang cukup untuk .X i B e r n o u l l i ( p ) p ∈ ( 0 , 1 ) T ( X ) = X 1 + 2 X 2 + X 3 p{X1,X2,X3}XiBernoulli(p)p∈(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Pertama, bagaimana kita dapat menemukan distribusi untuk ? Atau haruskah itu dipecah menjadi dan kemudian akankah ini mengikuti ? Saya pikir bukan karena perhatikan bahwa semua variabel tidak independen di sini.X 1 + X 2 + X 2 + X 3 B i n ( 4 , p )(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bin(4,p)

Bergantian, jika saya menggunakan kondisi faktorisasi dengan hanya mempertimbangkan PMF gabungan maka mana .f ( X 1 , X 2 , X 3 ) = p x 1 + x 2 + x 3 ( 1 - p ) 3 - ( x 1 + x 2 + x 3 ) = [ p t ( x ) ( 1 - p ) 3(X1,X2,X3) t(x)= x 1 +2 x 2 + x 3f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1−p)3−(x1+x2+x3)=[pt(x)(1−p)3−t(x)]p−x2(1−p)x2t(x)=x1+2x2+x3

Ini menunjukkan bahwa tidak cukup.T

Tetapi bagaimana jika saya ingin mengikuti definisi dan ingin menerapkan untuk memeriksa apakah rasio ini tidak bergantung pada ? Maka saya perlu tahu distribusi . Lalu bagaimana, apakah distribusi ? pgT(X)=X1+2X2+X3f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3

inference point-estimation sufficient-statistics Landon Carter
sumber
1
Petunjuk: Anda tidak perlu tahu distribusi penuh . Pertimbangkan, misalnya, kasus : berapakah distribusi probabilitas bersyarat ? T ( X ) = 2 ( X | T ( X ) = 2 )T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber
Jika maka . Jadi yang bergantung pada , benar? ( X 1 , X 2 , X 3 ) ∈ { ( 1 , 0 , 1 ) , (T(X)=2P ( X | T ( X ) = 2 ) = p 2 ( 1 - p ) + p ( 1 - p ) 2(X1,X2,X3)∈{(1,0,1),(0,1,0)}pP(X|T(X)=2)=p2(1−p)+p(1−p)2=p(1−p)p
Landon Carter
1
Itu ide yang tepat - tapi saya tidak melihat mengapa Anda menambahkan dua probabilitas. Bukankah suatu vektor ? (Jika Anda suka, Anda dapat menggunakan jenis perhitungan yang sama untuk menemukan distribusi penuh (hanya dapat mencapai nilai ), tetapi itu tidak lagi diperlukan, bukan? ))T ( X ) 0 , 1 , 2 , 3 , 4XT(X)0,1,2,3,4
whuber
Ya benar. Terima kasih! Jadi, sekali kami menunjukkan bahwa rasio ini tidak terlepas dari untuk setidaknya satu kali sampel, maka kami selesai! Terima kasih. Dan SELAMAT TAHUN BARU :)p
Landon Carter
Ya adalah vektor, tetapi yang lebih penting dan probabilitas . Tolong koreksi saya jika saya salah. X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) P ( X | T ( X ) = 2 ) = P ( T ( X ) = 2 ) = P ( X = ( 1 , 0 , 1 ) ) + P ( X = ( 0 , 1 , 0 ) )XX=(X1,X2,X3)P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
Landon Carter

Jawaban:

11

Saya berdiskusi dengan "whuber" dan mungkin saya mendapat petunjuk (benar?) Untuk melihat titik sampel: evaluasi pada titik sampel dan periksa apakah rasio ini tidak tergantung pada parameter, dalam hal ini .P(X=x)P(T(X)=T(x))xp

Jadi ambil lalu . Jadi kami mengevaluasi . Sekarang,Karena properti iid,Jugax=(1,0,1)T(1,0,1)=2P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)

T(X)=2 iff X∈{(1,0,1),(0,1,0)}.
P(X=(1,0,1))=p2(1−p) and P(X=(0,1,0))=p(1−p)2.
P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1−p).

Karenanya yang jelas tergantung pada , dan karena itu bukan statistik yang memadai.pT

P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)=p2(1−p)p(1−p)=p
pT
Landon Carter
sumber