Temukan MVUE yang unik

Pertanyaan ini dari Pengantar Robert Hogg untuk Statistik Matematika 6 Versi masalah 7.4.9 di halaman 388.

Biarkan menjadi iid dengan pdf nol di tempat lain, di mana . $X_1,...,X_n$ $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ $\theta>0$

(a) Temukan mle dari $\hat{\theta}$ $\theta$

(B) Apakah statistik yang cukup untuk ? Mengapa $\hat{\theta}$ $\theta$

Saya pikir saya bisa menyelesaikan (a) dan (b), tetapi saya bingung dengan (c).

Untuk sebuah):

Biarkan menjadi statistik pesanan. $Y_1<Y_2<...Y_n$

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ ketika dan ; di tempat lain $-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta$ $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ , karena , kita dapat melihat turunan ini negatif, $\theta>0$

jadi kemungkinan fungsi menurun. $L(\theta;x)$

Dari dan , dan $(-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta)$ $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

$L(\theta,x)$ menurun, jadi ketika memiliki nilai samllest, fungsi likelihood akan mencapai maksimum, karena , ketika , fungsi kemungkinan akan mencapai nilai maksimum. $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ mle $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

Untuk (b):

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

$\therefore$ Oleh Dengan faktorisasi Neyman, adalah statistik yang cukup untuk . Oleh karena itu, juga merupakan yang cukup $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

Selalu sama,

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

$\therefore$ Oleh Dengan faktorisasi Neyman, adalah statistik yang cukup untuk . Karenanya, juga merupakan - yang cukup. $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

Untuk (c):

Pertama, kami menemukan CDF $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

Selanjutnya, kita dapat menemukan pdf untuk dan dari rumus buku untuk statistik pesanan. $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

Selalu sama,

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

Selanjutnya, kami menunjukkan kelengkapan keluarga pdf untuk dan $f(y_1)$ $f(y_n)$

$E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ . Dengan (turunkan integral) kita dapat menunjukkan untuk semua . $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$

Karenanya, keluarga pdf lengkap .. $Y_1$

Samely, masih oleh , kami dapat menunjukkan bahwa keluarga pdf sudah lengkap. $FTC$ $Y_n$

Masalahnya sekarang kita perlu menunjukkan bahwa tidak bias. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

When $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

Kita dapat memecahkan integral dengan mengintegrasikan bagian-bagian

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

Karenanya, bukan penaksir yang tidak bias dari ketika $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

When $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

Namun, bukan merupakan penaksir yang tidak bias dari ketika $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Tetapi jawaban buku itu adalah adalah MVUE yang unik. Saya tidak mengerti mengapa itu adalah MVUE jika merupakan estimator yang bias. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Atau perhitungan saya salah, tolong bantu saya untuk menemukan kesalahan, saya bisa memberi Anda perhitungan yang lebih rinci.

Terima kasih banyak.

self-study maximum-likelihood order-statistics sufficient-statistics umvue Jauh di Utara
sumber

Saya tidak melihat perhitungan distribusi .

\hat{θ}

$\hat\theta$

whuber

Terima kasih, whuber, . Entah atau tergantung mana yang lebih besar. Saya menghitung distribusi untuk dan . Anda dapat melihat dan dalam teks.

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

Deep North

Dan dari dua distribusi di atas, saya menghitung dan lalu

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

Deep North

Bekerja dengan ekstrema membutuhkan perawatan, tetapi tidak harus sulit. Pertanyaan krusial, ditemukan di dekat tengah pos, adalah

... kita perlu menunjukkan bahwa tidak bias. $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

Sebelumnya kamu memperoleh

\hat{θ} = max (- y_{1}, y_{n} / 2) = max {- min {y_{i}}, max {y_{i}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

Meskipun yang terlihat berantakan, perhitungan menjadi dasar ketika Anda mempertimbangkan kumulatif fungsi distribusi . Untuk memulai dengan ini, perhatikan bahwa . Biarkan menjadi angka dalam rentang ini. Menurut definisi, $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = Pr (- y_{1} < t and y_{n} / 2 \leq t) \\ = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

Ini adalah kesempatan bahwa semua nilai terletak di antara dan . Nilai-nilai tersebut mengikat interval panjang . Karena distribusinya seragam, probabilitas bahwa setiap spesifik terletak pada interval ini sebanding dengan panjangnya: $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

Pr (y_{i} \in [- t, 2 t]) = \frac{3 t}{3 θ} = \frac{t}{θ} .

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

Karena independen, probabilitas ini berlipat ganda, memberi $y_i$

F (t) = {(\frac{t}{θ})}^{n} .

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

Harapan dapat segera ditemukan dengan mengintegrasikan fungsi survival selama interval nilai yang mungkin untuk , , menggunakan untuk variabel: $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

E (\hat{θ}) = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{t}{θ})}^{n}) d t = \int_{0}^{1} (1 - y^{n}) θ d y = \frac{n}{n + 1} θ .

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(Formula untuk ekspektasi ini berasal dari integral biasa melalui integrasi oleh bagian-bagian. Rincian diberikan di akhir https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)

Penskalaan ulang dengan memberi $(n+1)/n$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ}) = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

QED .

whuber
sumber

Ada kesalahan ketik untuk rumus terakhir, itu seharusnya bukan

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

Deep North

@Jaga Oh, tentu saja! Terima kasih telah menunjukkannya. Sekarang sudah diperbaiki.

whuber

Temukan MVUE yang unik

Saya pikir saya bisa menyelesaikan (a) dan (b), tetapi saya bingung dengan (c).

Masalahnya sekarang kita perlu menunjukkan bahwa tidak bias.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Karenanya, bukan penaksir yang tidak bias dari ketika q q =-y1(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

Namun, bukan merupakan penaksir yang tidak bias dari ketika q q =yn/2(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2

Tetapi jawaban buku itu adalah adalah MVUE yang unik. Saya tidak mengerti mengapa itu adalah MVUE jika merupakan estimator yang bias.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Jawaban:

Masalahnya sekarang kita perlu menunjukkan bahwa tidak bias. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Karenanya, bukan penaksir yang tidak bias dari ketika $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

Namun, bukan merupakan penaksir yang tidak bias dari ketika $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Tetapi jawaban buku itu adalah adalah MVUE yang unik. Saya tidak mengerti mengapa itu adalah MVUE jika merupakan estimator yang bias. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$