Statistik yang Cukup Lengkap: Seragam (a, b)

Biarkan menjadi sampel acak dari distribusi seragam pada , di mana . Biarkan dan menjadi statistik pesanan terbesar dan terkecil. Tunjukkan bahwa statistik adalah statistik yang cukup lengkap untuk parameter . $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$$(a,b)$$a < b$$Y_1$$Y_n$$(Y_1, Y_n)$$\theta = (a, b)$

Tidak masalah bagi saya untuk menunjukkan kecukupan menggunakan faktorisasi.

Pertanyaan: Bagaimana cara saya menunjukkan kelengkapan? Lebih disukai saya ingin petunjuk.

Mencoba: Saya dapat menunjukkan menyiratkan untuk distribusi seragam satu parameter, tetapi saya terjebak pada distribusi seragam dua parameter.$\mathbb E[g(T(x))] = 0$$g(T(x)) = 0$

Saya mencoba bermain-main dengan dan menggunakan distribusi gabungan dan , tetapi saya tidak yakin apakah saya akan ke arah yang benar, karena kalkulus membuat saya tersandung.$\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$$Y_1$$Y_n$

Mari kita urus kalkulus rutin untuk Anda, sehingga Anda bisa sampai ke inti masalahnya dan menikmati merumuskan solusi. Itu datang ke membangun persegi panjang sebagai persatuan dan perbedaan segitiga.

Pertama, pilih nilai dan yang membuat detail sesederhana mungkin. $a$$b$ Saya suka : kepadatan univariat komponen hanyalah fungsi indikator dari interval .X = ( X 1 , X 2 , ... , X n ) [ 0 , 1 $a=0,b=1$$X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$[0,1]$

Mari kita cari fungsi distribusi dari . ( Y 1 , Y n$F$$(Y_1,Y_n)$Menurut definisi, untuk bilangan real apa pun ini$y_1 \le y_n$

$$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$$

Nilai-nilai jelas atau jika salah satu dari atau berada di luar interval , jadi mari kita asumsikan mereka berdua dalam interval ini. (Mari kita juga berasumsi untuk menghindari membahas hal-hal sepele.) Dalam hal ini peristiwa dapat dijelaskan dalam hal variabel asli sebagai "setidaknya salah satu dari kurang dari atau sama dengan dan tidak ada melebihi . " Secara ekuivalen, semua terletak pada0 1 y 1 y n [ a , b ] = [ 0 , 1 ] n ≥ 2 ( 1 ) X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) X i y 1 X i y n X i [ 0 , y n ] ( y 1 , y n$F$$0$$1$$y_1$$y_n$$[a,b] = [0,1]$$n\ge 2$$(1)$$X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$X_i$$y_1$$X_i$$y_n$$X_i$$[0,y_n]$tetapi tidak demikian halnya dengan semuanya . $(y_1,y_n]$

Karena independen, probabilitasnya berlipat ganda dan memberi dan , masing-masing, untuk dua peristiwa yang baru saja disebutkan. Jadi, ( y n - 0 ) n = y n n ( y n - y 1 ) $X_i$$(y_n-0)^n = y_n^n$$(y_n-y_1)^n$

$$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$$

Densitas adalah turunan parsial campuran ,$f$$F$

$$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Kasus umum untuk skala variabel dengan faktor dan menggeser lokasi dengan . b - a $(a,b)$$b-a$$a$ Jadi, untuk ,$a \lt y_1 \le y_n \lt b$

$$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$$

Membedakan seperti sebelum kita dapatkan

$$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Pertimbangkan definisi kelengkapan. Misalkan adalah fungsi terukur dari dua variabel nyata. Menurut definisi,$g$

$$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$$

Kita perlu menunjukkan bahwa ketika ekspektasi ini nol untuk semua , maka dipastikan bahwa untuk semua .g = 0 ( a , b $(a,b)$$g=0$$(a,b)$

Ini petunjukmu. Biarkan menjadi fungsi terukur apa pun . Saya ingin mengungkapkannya dalam bentuk yang disarankan oleh sebagai . Untuk melakukan itu, jelas kita harus membagi dengan . Sayangnya, untuk ini tidak didefinisikan kapan pun . Kuncinya adalah set ini memiliki ukuran nol sehingga kita dapat mengabaikannya. ( 2 ) h ( x , y ) = g ( x , y ) ( y - x ) n - 2 h ( y - x ) n - 2 n > 2 y - $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$$(2)$$h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$$h$$(y-x)^{n-2}$$n\gt 2$$y-x$

Dengan demikian, mengingat setiap terukur , tentukan$h$

$$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$$

Kemudian menjadi$(2)$

$$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$$

(Ketika tugas menunjukkan bahwa sesuatu adalah nol, kita dapat mengabaikan konstanta proporsional bukan nol. Di sini, saya telah menjatuhkan dari sisi kiri.)$n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Ini adalah integral dari segitiga siku-siku dengan sisi miring memanjang dari ke dan simpul di . Mari kita tunjukkan seperti segitiga .$(a,a)$$(b,b)$$(a,b)$$\Delta(a,b)$

Ergo , apa yang Anda perlu tunjukkan adalah bahwa jika integral dari fungsi terukur sewenang-wenang atas semua segitiga adalah nol, maka untuk , (hampir pasti ) untuk semua .$h$$\Delta(a,b)$$a\lt b$$h(x,y)=0$$(x,y)\in \Delta(a,b)$

Meskipun sepertinya kita belum melangkah lebih jauh, pertimbangkan persegi panjang seluruhnya terdapat dalam setengah-bidang . Ini dapat dinyatakan dalam bentuk segitiga:$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$$y \gt x$

$$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$$

Pada gambar ini, persegi panjang adalah apa yang tersisa dari segitiga besar ketika kita menghapus segitiga merah dan hijau yang tumpang tindih (yang menghitung dua persimpangan coklat mereka) dan kemudian mengganti persimpangan mereka.

Sebagai akibatnya, Anda dapat langsung menyimpulkan bahwa integral pada semua persegi panjang tersebut adalah nol. $h$ Tetap hanya untuk menunjukkan bahwa harus nol (terpisah dari nilainya pada beberapa satuan ukuran nol) setiap kali . Bukti dari pernyataan ini (secara intuitif jelas) tergantung pada pendekatan apa yang ingin Anda ambil untuk definisi integrasi.y > $h(x,y)$$y \gt x$