Jalan acak dengan momentum

Pertimbangkan bilangan bulat acak mulai dari 0 dengan kondisi berikut:

• Langkah pertama adalah plus atau minus 1, dengan probabilitas yang sama.

• Setiap langkah di masa depan adalah: 60% kemungkinan berada di arah yang sama dengan langkah sebelumnya, 40% kemungkinan berada di arah yang berlawanan

Jenis distribusi apa yang dihasilkannya?

Saya tahu bahwa jalan acak non-momentum menghasilkan distribusi normal. Apakah momentum hanya mengubah varians, atau mengubah sifat distribusi sepenuhnya?

Saya mencari jawaban umum, jadi 60% dan 40% di atas, maksud saya benar-benar p dan 1-p

Untuk langsung mengambil kesimpulan, "momentum" tidak mengubah fakta bahwa distribusi normal adalah perkiraan asimptotik dari distribusi jalan acak, tetapi varians berubah dari $4np(1-p)$ menjadi $np/(1-p)$ . Ini dapat diturunkan dengan pertimbangan yang relatif elementer dalam kasus khusus ini. Tidaklah terlalu sulit untuk menggeneralisasi argumen di bawah ini ke CLT untuk ruang terbatas ruang Markov, katakan, tetapi masalah terbesar sebenarnya adalah perhitungan varians. Untuk masalah khusus itu bisadihitung, dan semoga argumen di bawah ini dapat meyakinkan pembaca bahwa itu adalah varian yang benar.

Menggunakan wawasan bahwa Kardinal menyediakan dalam komentar, acak berjalan diberikan sebagai mana X k ∈ { - 1 , 1 } dan X k 's membentuk rantai Markov dengan matriks probabilitas transisi ( p 1 - p 1 - p p ) . Untuk pertimbangan asimptotik saat n → ∞ distribusi awal X 1 tidak berperan, jadi mari kita perbaiki

$$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$$ $X_k \in \{-1, 1\}$$X_k$ $$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$$ $n \to \infty$$X_1$ demi argumen berikut, dan anggap juga bahwa 0 < p < 1 . Teknik yang licin adalah menguraikan rantai Markov menjadi siklus independen. Misalkan σ 1 menunjukkan pertama kali, setelah waktu 1, bahwa rantai Markov kembali ke 1. Yaitu, jika X 2 = 1 maka σ 1 = 2 , dan jika X 2 = X 3 = - 1 dan X 4 = 1 maka σ 1 = $X_1 = 1$$0 < p < 1$$\sigma_1$$X_2 = 1$$\sigma_1 = 2$$X_2 = X_3 = -1$$X_4 = 1$$\sigma_1 = 4$. Secara umum, biarkan menyatakan i 'th waktu kembali ke 1 dan membiarkan τ i = σ i - σ i - 1 menyatakan kali antar-return (dengan σ 0 = 1 ). Dengan definisi ini, kami punya$\sigma_i$$i$$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$$\sigma_0 = 1$

• Dengan lalu S σ n = X 1 + n ∑ i = 1 U i$U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $$S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$$
• Sejak mengambil nilai - 1 untuk k = σ i - 1 + 1 , ... , σ i - 1 dan X σ i = 1 itu menyatakan bahwa U i = 2 - τ i$X_k$$-1$$k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$$X_{\sigma_i} = 1$ $$U_i = 2 - \tau_i.$$
• Waktu antar kembali, , untuk rantai Markov adalah iid (secara resmi karena properti Markov yang kuat) dan dalam kasus ini dengan rata-rata E ( τ i ) = 2 dan varians V ( τ i ) = 2 $\tau_i$$E(\tau_i) = 2$ . Diindikasikan bagaimana cara menghitung mean dan varians di bawah ini.$V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
• CLT biasa untuk variabel id menghasilkan bahwa $$S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$$
• Hal terakhir untuk catatan, yang membutuhkan lompatan kecil iman, karena saya meninggalkan rincian, adalah bahwa $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ , yang hasil bahwa $$S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$$

$\tau_1$$P(\tau_1 = 1) = p$$m \geq 2$$P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$$X$$1-p$$Z = 1(\tau_1 = 1)$$1 + X(1-Z)$$\tau_1$

$\rho$$\rho = 2p - 1$

$$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$$ where $n \bar{x}$ is the position of the random walk after $n$ steps, and $s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in $n$, $\sqrt{1 - \bar{x}^2}$. The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of $n \bar{x}$ should be around $\sqrt{n p/(1-p)}$.

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)