Saya sering menemukan istilah "solusi bentuk tertutup". Apa yang dimaksud dengan solusi bentuk-tertutup? Bagaimana cara menentukan apakah solusi bentuk dekat ada untuk masalah yang diberikan? Pencarian online, saya menemukan beberapa informasi, tetapi tidak ada dalam konteks mengembangkan model / solusi statistik atau probabilistik.
Saya memahami regresi dengan sangat baik, jadi jika ada yang bisa menjelaskan konsep dengan mengacu pada regresi atau penyesuaian model, akan mudah dikonsumsi. :)
Jawaban:
dan
Contoh solusi bentuk tertutup dalam regresi linier adalah persamaan kuadrat terkecil
sumber
Sebagian besar prosedur estimasi melibatkan menemukan parameter yang meminimalkan (atau memaksimalkan) beberapa fungsi objektif. Misalnya, dengan OLS, kami meminimalkan jumlah residu kuadrat. Dengan Estimasi Kemungkinan Maksimum, kami memaksimalkan fungsi kemungkinan log. Perbedaannya sepele: minimalisasi dapat dikonversi menjadi maksimalisasi dengan menggunakan fungsi objektif yang negatif.
Kadang-kadang masalah ini dapat diselesaikan secara aljabar, menghasilkan solusi bentuk tertutup. Dengan OLS, Anda memecahkan sistem kondisi urutan pertama dan mendapatkan rumus yang sudah dikenal (meskipun Anda mungkin masih membutuhkan komputer untuk mengevaluasi jawabannya). Dalam kasus lain, ini tidak mungkin secara matematis dan Anda perlu mencari nilai parameter menggunakan komputer. Dalam hal ini, komputer dan algoritma memainkan peran yang lebih besar. Nonlinear Least Squares adalah salah satu contohnya. Anda tidak mendapatkan formula eksplisit; semua yang Anda dapatkan adalah resep yang perlu diterapkan oleh komputer. Resepnya mungkin dimulai dengan tebakan awal tentang apa parameternya dan bagaimana mungkin bervariasi. Anda kemudian mencoba berbagai kombinasi parameter dan melihat mana yang memberi Anda nilai fungsi objektif terendah / tertinggi. Ini adalah pendekatan brute force dan membutuhkan waktu lama. Sebagai contoh,105 kombinasi, dan itu hanya menempatkan Anda di lingkungan jawaban yang tepat jika Anda beruntung. Pendekatan ini disebut pencarian grid.
Atau Anda mungkin mulai dengan tebakan, dan memperbaiki tebakan itu ke beberapa arah hingga peningkatan dalam fungsi tujuan kurang dari beberapa nilai. Ini biasanya disebut metode gradien (meskipun ada orang lain yang tidak menggunakan gradien untuk memilih ke arah mana masuk, seperti algoritma genetika dan simulasi anil). Beberapa masalah seperti jaminan ini bahwa Anda menemukan jawaban yang tepat dengan cepat (fungsi tujuan kuadratik). Yang lain tidak memberikan jaminan seperti itu. Anda mungkin khawatir bahwa Anda terjebak di lokal, daripada global, optimal, jadi Anda mencoba berbagai tebakan awal. Anda mungkin menemukan bahwa parameter yang sangat berbeda memberi Anda nilai fungsi objektif yang sama, sehingga Anda tidak tahu harus memilih yang mana.
Inilah cara yang bagus untuk mendapatkan intuisi. Misalkan Anda memiliki model regresi eksponensial sederhana di mana satu-satunya regresi adalah intersep:
Fungsi objektifnya adalah
Dengan masalah sederhana ini, kedua pendekatan itu layak. Solusi bentuk tertutup yang Anda dapatkan dengan mengambil turunannya adalah . Anda juga dapat memverifikasi bahwa hal lain memberi Anda nilai lebih tinggi dari fungsi tujuan dengan memasukkan sebagai gantinya. Jika Anda memiliki beberapa regresi, solusi analitis keluar jendela. ln ( ˉ y + k )α∗=lny¯ ln(y¯+k)
sumber
Saya pikir situs web ini menyediakan intuisi sederhana, kutipan di antaranya adalah:
sumber
Mencari istilah awam atau kata-kata menyakitkan yang dengan keras mendefinisikan maknanya? Saya akan menganggap istilah awam karena yang lain dapat ditemukan di mana-mana. Katakanlah Anda menginginkan solusi bentuk tertutup dari akar kuadrat 8. Solusi bentuk tertutup adalah 2 * (2) ^ 1/2 atau dua kali akar kuadrat dari dua. Ini berbeda dengan solusi bentuk non-tertutup 2.8284. (Lihat wikipedia akar kuadrat dari 2 untuk melihat dari pada 69 tempat desimal akurat untuk dalam 1 / 10.000) Satu didefinisikan secara absolut dalam istilah matematika sedangkan yang lain tidak. Solusi formulir tertutup memberikan jawaban yang pasti dan jawaban yang tidak tertutup adalah perkiraan, tetapi Anda bisa mendapatkan solusi formulir tidak tertutup sedekat dengan solusi formulir tertutup seperti yang Anda inginkan. Kedengarannya kontra-intuitif, tetapi jika Anda membutuhkannya lebih akurat, maka cukup singkirkan sedikit lebih banyak perhitungan.
sumber
Bentuk tertutup = bentuk tertutup (fungsional)
Tertutup berarti tidak ada lagi yang bisa masuk ke dalam; artinya, tidak ada alternatif => hanya satu solusi => hanya satu fungsi yang dapat membangun hubungan antara hasil dan prediktor.
sumber