Apakah deret waktu sama dengan proses stokastik?

27

Proses stokastik adalah proses yang berkembang seiring waktu, jadi apakah ini benar-benar cara yang lebih bagus untuk mengatakan "rangkaian waktu"?

Pemenang
sumber
10
Rangkaian waktu adalah proses stokastik dengan dukungan pengamatan waktu diskrit. Proses stokastik dapat diamati dalam waktu kontinu. (Mungkin juga seri itu lebih terkait dengan pengamatan dan proses stokastik dengan objek acak di belakang.)
Xi'an
"Seri" menyiratkan sifat diskrit atau terbatas sebagai lawan dari sifat berpotensi berkelanjutan dari "proses".
Aksakal
7
Proses stokastik tidak perlu berkembang seiring waktu; itu bisa diam. Menurut saya, perbedaan antara proses stokastik dan deret waktu adalah salah satu sudut pandang. Proses stokastik adalah kumpulan variabel acak sedangkan rangkaian waktu adalah kumpulan angka, atau jalur realisasi atau sampel dari proses stokastik. Dengan asumsi tambahan tentang proses, kita mungkin ingin menggunakan histogram nilai angka deret waktu sebagai perkiraan kepadatan umum (atau fungsi massa) dari semua variabel acak yang terdiri dari proses dll.
Dilip Sarwate
2
@DilipSarwate, deret waktu bisa diam atau tidak.
Aksakal
2
@ Aksakal saya mohon berbeda. Misalkan ahli statistik telah mengamati deret waktu-panjang seri Apakah ini seri stasioner? Bagaimana Anda bisa tahu bahwa itu (atau tidak)? Kecuali jika kami memiliki beberapa seri waktu (untuk contoh waktu yang sama) dari mana kami mungkin dapat membuat kesimpulan tentang proses stokastik ("Wah, histogram nilai yang diambil oleh hampir sama terlepas dari pilihan ") . Tapi satu urutan angka? Anda tidak bisa mengatakan apakah seri ini stasioner atau tidak, tetapi Anda bisa berasumsi demikian model proses stokastik yang mendasariX n n
1,0,1,0,1,0,1
Xnn
Dilip Sarwate

Jawaban:

32

Karena banyak perbedaan yang meresahkan muncul dalam komentar dan jawaban, mari merujuk ke beberapa otoritas.

James Hamilton bahkan tidak mendefinisikan rangkaian waktu, tetapi ia jelas tentang apa itu:

... himpunan angka ini hanya satu kemungkinan hasil dari proses stokastik yang mendasari yang menghasilkan data. Memang, bahkan jika kita membayangkan telah mengamati proses untuk periode waktu yang tak terbatas, tiba di urutan urutan tanpa batas akan masih dipandang sebagai realisasi tunggal dari proses deret waktu. ...{ y t } t = = { ... , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , ... , y T , y T + 1 , y T + 2 , ... , } , { y t } t = T

{yt}t=={,y1,y0,y1,y2,,yT,yT+1,yT+2,,},
{yt}t=

Bayangkan baterai ... komputer menghasilkan urutan , dan pertimbangkan untuk memilih pengamatan yang terkait dengan tanggal dari masing-masing urutan: Ini akan digambarkan sebagai contoh realisasi dari variabel acak . ...{ y ( 1 ) t } t = - , { yI{yt(1)}t=, {y ( I ) t }t = - t{y ( 1 ) t ,y ( 2 ) t ,...,y ( I ){yt(2)}t=,, {yt(I)}t=tAkuYt

{yt(1),yt(2),,yt(I)}.
IYt

( Analisis Rangkaian Waktu , Bab 3.)

Jadi, "proses deret waktu" adalah serangkaian variabel acak diindeks oleh bilangan bulat .t{Yt}t

Dalam Persamaan Diferensial Stokastik, Bernt Øksendal memberikan definisi matematis standar dari proses stokastik umum:

Definisi 2.1.4. Sebuah proses stokastik adalah kumpulan parametrized variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas dan dengan asumsi nilai dalam . ( Ω , F , P ) R n

{Xt}tT
(Ω,F,P) Rn

Ruang parameter biasanya (seperti dalam buku ini) setengahnya , tetapi bisa juga berupa interval , bilangan bulat non-negatif, dan bahkan himpunan bagian dari untuk .[ 0 , ) [ a , b ] R n n 1T[0,)[a,b]Rnn1

Menyatukan keduanya, kita melihat bahwa proses deret waktu adalah proses stokastik yang diindeks oleh bilangan bulat.

Beberapa orang menggunakan "deret waktu" untuk merujuk pada realisasi proses deret waktu (seperti dalam artikel Wikipedia ). Kita dapat melihat dalam bahasa Hamilton upaya yang masuk akal untuk membedakan proses dari realisasi dengan menggunakan "proses deret waktu", sehingga ia dapat menggunakan "deret waktu" untuk merujuk pada realisasi (atau bahkan data).

whuber
sumber
2
(+1) Saya pikir paragraf terakhir sangat penting (meskipun halus). Saya memang ingin menambahkan, bahwa gagasan "rangkaian waktu terus menerus" kadang-kadang terlihat. Kadang-kadang frasa ini digunakan hanya untuk menunjukkan bahwa variabel itu sendiri kontinu, bukan diskrit, tetapi saya juga telah melihatnya digunakan untuk menunjukkan bahwa waktu dijadikan sampel terus menerus , jadi "diindeks oleh bilangan bulat" mungkin bukan definisi yang diterima secara universal. Lihat misalnya di sini , di dalam Time Series: Theory & Methods oleh Brockwell & Davis.
Silverfish
1
@Silverfish Saya menghargai komentar itu. Pada akhirnya, saya menemukan mereka tidak meyakinkan karena alasan sederhana bahwa "seri" secara universal digunakan dalam matematika untuk merujuk pada fungsi dengan domain yang dapat dihitung . "Sampel terus menerus" tidak dapat dimasukkan dalam konsep itu. Saya tidak menantang pengamatan Anda bahwa beberapa penulis mungkin menyebut proses stokastik waktu terus-menerus sebagai "seri" - Saya hanya mengatakan bahwa jika ini masalahnya, maka mereka menyalahgunakan terminologi yang sudah mapan.
whuber
3
Saya pikir ada tingkat perdebatan "deskripsi versus resep" dalam hal ini. Gagasan "rangkaian waktu kontinu" jelas merupakan penggunaan minoritas (saya ingin tahu apakah ini tergantung pada lapangan, pemahaman saya yang terbatas adalah bahwa orang yang memproses sinyal biasanya merujuk pada "sinyal waktu kontinu" daripada "seri") dan secara pribadi saya Saya cenderung setuju bahwa kata "seri" secara logis lebih konsisten dengan pengambilan sampel diskrit. Saya hanya ingin menunjukkan bahwa penggunaan minoritas tidak pernah terdengar, bahkan di antara para ahli, yang dapat menjelaskan beberapa kebingungan yang dihasilkan.
Silverfish
@Silverfish, jadi, untuk minoritas ini yang juga mempertimbangkan deret waktu kontinu, proses stokastik sama dengan deret waktu?
Kode Paus
3

{Xt}

Mwandri
sumber
1

Mendefinisikan proses stokastik

(Ω,F,P)SR

  • ΩS
  • t
    • tTXt
    • ωΩX(ω)X

Menentukan deret waktu

Sedangkan proses stokastik memiliki definisi matematis yang jernih. Rangkaian waktu adalah gagasan yang kurang tepat, dan orang-orang menggunakan rangkaian waktu untuk merujuk pada dua objek yang terkait tetapi berbeda:

  1. Seperti yang dideskripsikan WHuber, proses stokastik diindeks oleh bilangan bulat atau satuan waktu tambahan secara teratur yang dalam arti dapat dipetakan dengan bilangan bulat (mis. Data bulanan).
  2. Kumpulan data yang diamati secara berkala. Ini bisa menjadi realisasi dari proses stokastik yang diindeks oleh bilangan bulat. Terkadang ini disebut sebagai data deret waktu.

Contoh: dua lemparan taktik

Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT}X1,X2

X1(ω)={1:ω{ωHH,ωHT}0:ω{ωTH,ωTT}

X2(ω)={1:ω{ωHH,ωTH}0:ω{ωHT,ωTT}

{X1,X2}XX(ωHH)=(H,H)

Matthew Gunn
sumber
0

Perbedaan antara proses stokastik dan seri waktu agak seperti perbedaan antara kucing pada keyboard dan jawaban di Stack Exchange: Kucing pada keyboard dapat menghasilkan jawaban, tetapi kucing pada keyboard bukan jawaban. Selain itu, tidak setiap jawaban dihasilkan oleh kucing di keyboard.

Rangkaian waktu dapat dipahami sebagai kumpulan pasangan titik waktu-nilai-data. Proses stokastik di sisi lain adalah model matematika atau deskripsi matematika dari distribusi deret waktu¹. Beberapa deret waktu merupakan realisasi dari proses stokastik (dari jenis apa pun). Atau, dari sudut pandang lain: Saya dapat menggunakan proses stokastik sebagai model untuk menghasilkan deret waktu.

Lebih lanjut, deret waktu juga dapat dihasilkan dengan cara lain:

  • Mereka bisa menjadi hasil pengamatan dan karenanya dihasilkan oleh kenyataan. Sementara saya dapat memodelkan realitas sebagai proses stokastik (saya juga bisa mengatakan bahwa saya menganggap realitas sebagai proses stokastik), kenyataan bukanlah proses stokastik dengan cara yang sama bahwa interior kotak bukanlah sekumpulan titik (walaupun kita sering sering anggap dua ekuivalen dalam konteks pemodelan).

  • x=2


¹ Jika ini adalah proses stokastik diskrit waktu. Proses stokastik kontinu adalah distribusi fungsi daripada deret waktu.

Wrzlprmft
sumber
1
Tidak jelas apakah Anda membuat perbedaan antara model dan dataset atau apakah Anda mencoba untuk membuat poin lain. Juga tidak jelas apa yang Anda ambil proses stokastik. (Yang Anda katakan adalah bahwa itu "bahkan bukan" "proses stokastik waktu diskrit.") Ketidakpastian dalam eksposisi Anda ini dapat menambah kebingungan daripada menyelesaikannya.
Whuber
@whuber: Saya mengedit jawaban saya untuk mengklarifikasi beberapa aspek, tetapi saya pikir Anda juga salah mengerti beberapa kalimat "tidak genap".
Wrzlprmft
0

Saya menghargai semua kontribusi diskusi / komentar tentang masalah seri Time vs proses Stochastic. Inilah pemahaman saya tentang perbedaan: Rangkaian waktu adalah fenomena yang diamati, dicatat sebagai serangkaian angka yang diindeks dengan waktu saat pengamatan; kemungkinan besar serangkaian pengamatan dari fenomena kehidupan nyata seperti harga saham di Bursa Efek New York. Di sisi lain, proses stokastik selalu dipahami sebagai representasi matematis (bukan produksi) dari deret waktu.

Tukang sihir
sumber
Proses stokastik lebih umum daripada rangkaian waktu. Misalnya rantai Markov adalah proses stokastik yang bukan deret waktu.
Michael R. Chernick
1
@Michael Chernick: Bukankah Rantai Markov konsisten dengan definisi: "seperangkat variabel acak yang diindeks oleh bilangan bulat t" dan "proses stokastik diindeks oleh bilangan bulat"? Bagian mana dari definisi ini yang tidak memuaskan Markov Chains atau Anda tidak setuju dengan definisi ini?
ColorStatistics