Apakah binomial negatif tidak dapat diekspresikan seperti dalam keluarga eksponensial jika ada 2 yang tidak diketahui?

Saya memiliki tugas pekerjaan rumah untuk mengekspresikan distribusi binomial negatif sebagai keluarga distribusi eksponensial mengingat bahwa parameter dispersi adalah konstanta yang diketahui. Ini cukup mudah, tetapi saya bertanya-tanya mengapa mereka meminta kami mempertahankan parameter itu tetap. Saya menemukan bahwa saya tidak dapat menemukan cara untuk meletakkannya dalam bentuk yang tepat dengan dua parameter tidak diketahui.

Melihat online, saya menemukan klaim bahwa itu tidak mungkin. Namun, saya tidak menemukan bukti bahwa ini benar. Sepertinya aku juga tidak bisa memikirkannya. Adakah yang punya bukti tentang ini?

Seperti yang diminta di bawah ini, saya telah melampirkan beberapa klaim:

"Keluarga distribusi binomial negatif dengan jumlah kegagalan tetap (alias parameter waktu berhenti) r adalah keluarga eksponensial. Namun, ketika salah satu parameter tetap yang disebutkan di atas dibiarkan bervariasi, keluarga yang dihasilkan bukan keluarga eksponensial. " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"Distribusi binomial negatif dua parameter bukanlah anggota dari keluarga eksponensial. Tetapi jika kita memperlakukan parameter dispersi sebagai diketahui, konstanta tetap, maka itu adalah anggota." http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

self-study mathematical-statistics negative-binomial proof exponential-family Larry
sumber

Saya menambahkan beberapa klaim di atas.

Larry

Jawaban:

Jika Anda melihat kepadatan distribusi Binomial Negatif terhadap ukuran penghitungan di atas himpunan bilangan bulat, bagian dalam kepadatan ini tidak dapat dinyatakan sebagai .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

Xi'an
sumber