Pertimbangkan sinyal noise Gaussian putih .
Jika kita mengambil sampel sinyal ini dan menghitung transformasi Fourier diskrit, apa statistik dari amplitudo Fourier yang dihasilkan?
fourier-transform
noise
dft
random-process
DanielSank
sumber
sumber
Jawaban:
Alat matematika
Kita dapat melakukan perhitungan menggunakan beberapa elemen dasar teori probabilitas dan analisis Fourier. Ada tiga elemen (kami menunjukkan kepadatan probabilitas dari variabel acakX pada nilai x sebagai PX(x) ):
Diberikan variabel acakX dengan distribusi PX(x) , distribusi variabel yang diskalakan Y=aX adalah PY(y)=(1/a)PX(y/a) .
Distribusi probabilitas dari jumlah dua variabel acak sama dengan konvolusi distribusi probabilitas dari puncak. Dengan kata lain, jikaZ=X+Y kemudian PZ(z)=(PX⊗PY)(z) dimana ⊗ menunjukkan konvolusi.
Transformasi Fourier dari belitan dua fungsi sama dengan produk transformasi Fourier dari kedua fungsi tersebut. Dengan kata lain:
Perhitungan
Nyatakan proses acak sebagaix ( t ) . Pengambilan sampel diskrit menghasilkan urutan nilaixn yang kami anggap tidak berkorelasi secara statistik. Kami juga menganggap itu untuk masing-masingn xn adalah Gaussian didistribusikan dengan standar deviasi σ . Kami menunjukkan fungsi Gaussian dengan standar deviasiσ oleh simbol Gσ jadi kami akan mengatakan itu Pxn( x ) =Gσ( x ) .
Amplitudo transformasi Fourier diskrit didefinisikan sebagai
Oleh karena itu, distribusiRXk adalah konvolusi berganda atas fungsi Gσcn,k :
Tidak jelas bagaimana melakukan konvolusi berganda, tetapi menggunakan aturan # 3 itu mudah. Mendenotasikan transformasi Fourier dari suatu fungsi olehF kita punya
Transformasi Fourier dari Gaussian dengan lebarσ adalah Gaussian lain dengan lebar 1 / σ , jadi kita dapatkan
Karena itu kami telah menghitung distribusi probabilitas dari bagian nyata dari koefisien FourierXk . Ini adalah Gaussian didistribusikan dengan standar deviasiσN/ 2----√ . Perhatikan bahwa distribusi tidak tergantung pada indeks frekuensik , yang masuk akal untuk kebisingan tidak berkorelasi. Dengan simetri, bagian imajiner harus didistribusikan persis sama.
Secara intuitif kami berharap penambahan lebih banyak integrasi akan mengurangi lebar distribusi noise yang dihasilkan. Namun, kami menemukan bahwa standar deviasi dari distribusiXk tumbuh sebagaiN--√ . Ini hanya karena pilihan kami untuk normalisasi transformasi Fourier diskrit. Jika kita malah menormalkannya seperti ini
sumber
import numpy as np; np.std(np.real(np.sum(np.random.normal(0, 1, (10000, 10000)) * np.exp(1.0j * 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 10000) * 50), axis=1)))
. Ketika saya melakukan ini, saya mendapatkan output70
, yang sama denganSaya ingin mencoba lagi jawaban @ DanielSank. Kami pertama kali mengira ituvn∼ CN( 0 ,σ2) dan iid Its Discrete Fourier Transform kemudian:
Kami ingin menghitung distribusiVk Untuk memulai, kami mencatatnya sejak itu vn adalah white Gaussian noise, itu simetris sirkular, sehingga bagian nyata dan imajiner dari Fourier Transform-nya akan didistribusikan sama. Karena itu, kita hanya perlu menghitung distribusi bagian yang asli dan kemudian menggabungkannya dengan bagian imajiner.
Jadi kami berpisahVk menjadi bagian yang nyata dan imajiner. Kita punya:
Dimana:
Dan:
Sekarang kami berupaya menurunkan distribusiR {Vk}1 dan R {Vk}2 . Seperti dalam jawaban @ DanielSank, kami mendefinisikan:
Jadi kita bisa menulis:R {Vk}1=∑n = 0N- 1xn , k
Ini memungkinkan kita untuk dengan mudah menerapkan fakta berikut tentang kombinasi linear dari variabel acak Gaussian. Yaitu, kita tahu bahwa:
Bersama-sama, ini menyiratkan hal ituxn , k∼ N( 0 ,c2n , k2N2σ2) . Sekarang kita bekerja pada penjumlahan. Kita tahu itu:
Ini menyiratkan bahwa:
Jadi kami telah menunjukkan bahwa:
Sekarang kami menerapkan argumen yang samaR {Vk}2 . Menyalahgunakan notasi kami, kami menulis ulang:
Mengulangi argumen yang sama, dan mencatat bahwa Gaussian adalah distribusi simetris (sehingga kita dapat mengabaikan perbedaan tanda), memberi kita:
Sejak∑N- 1n = 0s2n , k=N2 demikian juga. Karena itu sejak ituR {Vk} = R {Vk}1+ R {Vk}2 , kita mendapatkan:
Jadi kami telah menunjukkan bahwa:
Dengan simetri lingkaran, kita juga tahu bahwa:
Jadi sejak ituVk= R {Vk} + j I{Vk} , akhirnya kami tiba di:
Oleh karena itu mengambil DFT membagi varians dengan panjang jendela DFT - dengan asumsi jendela adalah persegi panjang tentu saja - yang merupakan hasil yang sama seperti pada jawaban @ DanielSank.
sumber
C(n,k)^2=N/2
?