Interpretasi intuitif transformasi Laplace

Jadi saya mulai memahami dengan transformasi Fourier. Secara intuitif sekarang saya benar-benar mengerti apa yang dilakukannya dan akan segera mengikuti beberapa kelas pada matematika (jadi subjek yang sebenarnya). Tapi kemudian saya terus membaca tentang transformasi laplace dan di sana saya agak kehilangan itu. Apa momen dari sinyal? Mengapa transformasi fourier merupakan kasus khusus dari transformasi laplace? Bagaimana saya bisa memahami transformasi Laplace?

Saya sudah melihat sumber-sumber ini sebelum saya mengajukan pertanyaan ini:

Apa yang dimaksud dengan "respons impuls" sistem dan "respons frekuensi?"

Bagaimana cara membedakan antara domain frekuensi yang berbeda?

Amplitudo vs Frekuensi Respon

Mengapa transformasi Fourier begitu penting?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Jika Anda memiliki pemahaman tentang transformasi Fourier maka Anda mungkin sudah memiliki model konseptual mengubah sinyal menjadi domain frekuensi. Transformasi Laplace menyediakan representasi domain frekuensi alternatif dari sinyal - biasanya disebut sebagai "domain S" untuk membedakannya dari transformasi domain frekuensi lainnya (seperti transformasi Z - yang pada dasarnya merupakan ekuivalen terdekretasikan dari transformasi Laplace).

Apa momen dari sinyal?

Karena Anda tidak diragukan lagi menyadari Transformasi Laplace memberi kami deskripsi sinyal dari saat-saat itu, mirip dengan bagaimana Transformasi Fourier memberi kami deskripsi dari fase dan amplitudo.

Secara garis besar suatu momen dapat dipertimbangkan bagaimana sampel berbeda dari nilai rata-rata sinyal - momen pertama sebenarnya adalah rata-rata, yang kedua adalah varians, dll ... (ini dikenal secara kolektif sebagai "momen distribusi")

Dengan fungsi F (t), kita dapat menghitung turunan ke-n pada t = 0 untuk memberikan momen ke-n kita. Sama seperti sebuah sinyal dapat dideskripsikan sepenuhnya menggunakan fase dan amplitudo, itu dapat dijelaskan sepenuhnya oleh semua turunannya.

Mengapa transformasi fourier merupakan kasus khusus dari transformasi laplace?

Jika kita melihat transformasi laplace bilateral:

$s=i\omega$

Ada beberapa catatan tentang hubungan ini ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) tetapi matematika harus cukup transparan.

Mengapa transformasi fourier merupakan kasus khusus dari transformasi laplace?

$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Dilihat dari samping, besarnya Transformasi Laplace ini membentuk permukaan, dengan kutub yang bertindak seperti tiang tenda yang menaikkan amplitudo hingga tak terbatas pada titik tersebut (dan nol tersirat pada tak terhingga yang menjatuhkan amplitudo ke nol semakin jauh dari asal Anda dapatkan ke segala arah):

Jika Anda sekarang mengambil nilai permukaan sepanjang sumbu jω saja, itulah transformasi Fourier. Ini adalah kurva merah pada gambar di atas, yang dapat Anda lihat membentuk filter lowpass. Jika Anda memindahkan kutub lebih jauh dari asalnya, tenda akan bergerak ke arah yang sama, dan irisan di sepanjang sumbu j drop akan turun, keduanya mengurangi penguatan (yang kami kompensasi dengan menambahkan gain keseluruhan) dan meningkatkan frekuensi cutoff. Saya bermaksud membuat beberapa animasi dari hal-hal seperti ini ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

Deskripsi intuitif terbaik dari transformasi Laplace yang pernah saya lihat:

Pada pandangan pertama, akan tampak bahwa strategi Transformasi Laplace sama dengan Transformasi Fourier: mengkorelasikan sinyal domain waktu dengan seperangkat fungsi basis untuk menguraikan bentuk gelombang. Tidak benar! Meskipun matematika hampir sama, dasar pemikiran di balik kedua teknik ini sangat berbeda.

Transformasi Laplace dapat dilihat sebagai menyelidiki respons impuls sistem dengan berbagai sinusoid yang membusuk secara eksponensial. Bentuk gelombang Probing yang menghasilkan pembatalan disebut kutub dan nol.

$\omega$$s$$s=j\omega$

Ada analogi yang bagus untuk ini dalam sebuah buku:

Sekarang, pikirkan tentang bagaimana Anda memahami hubungan antara ketinggian dan jarak di sepanjang rute kereta api, dibandingkan dengan konduktor. Karena Anda telah secara langsung mengukur ketinggian di sepanjang jalan, Anda dapat dengan tepat mengklaim bahwa Anda tahu segalanya tentang hubungan tersebut. Sebagai perbandingan, konduktor mengetahui informasi lengkap yang sama, tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana dan lebih intuitif: lokasi bukit dan lembah yang menyebabkan kemiringan dan punuk di sepanjang jalan. Sementara deskripsi sinyal Anda mungkin terdiri dari ribuan pengukuran individu, deskripsi konduktor tentang sinyal hanya akan berisi beberapa parameter.